Matematica discreta Esempi

$3 x^{2} - 5 x < 2$

Passaggio 1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$3 x^{2} - 5 x = 2$

Passaggio 2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} - 5 x - 2 = 0$

Passaggio 3

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot - 2 = - 6$ e la cui somma è $b = - 5$ .

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Passaggio 3.1.1

Scomponi $- 5$ da $- 5 x$ .

$3 x^{2} - 5 x - 2 = 0$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi $- 5$ come $1$ più $- 6$ .

$3 x^{2} + (1 - 6) x - 2 = 0$

Passaggio 3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} + 1 x - 6 x - 2 = 0$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$3 x^{2} + x - 6 x - 2 = 0$

Passaggio 3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(3 x^{2} + x) - 6 x - 2 = 0$

Passaggio 3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (3 x + 1) - 2 (3 x + 1) = 0$

Passaggio 3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x + 1$ .

$(3 x + 1) (x - 2) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 5

Imposta $3 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $3 x + 1$ uguale a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $3 x + 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 5.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = - 1$

Passaggio 5.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 1$ e semplifica.

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Passaggio 5.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 1$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{3}$

Passaggio 6

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 6.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3 x + 1) (x - 2) = 0$ vera.

$x = - \frac{1}{3}, 2$

Passaggio 8

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - \frac{1}{3}$

$- \frac{1}{3} < x < 2$

$x > 2$

Passaggio 9

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 9.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - \frac{1}{3}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - \frac{1}{3}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 3$

Passaggio 9.1.2

Sostituisci $x$ con $- 3$ nella diseguaglianza originale.

$3 {(- 3)}^{2} - 5 \cdot - 3 < 2$

Passaggio 9.1.3

Il lato sinistro di $42$ non è minore del lato destro di $2$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 9.2

Testa un valore sull'intervallo $- \frac{1}{3} < x < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- \frac{1}{3} < x < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 9.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$3 {(0)}^{2} - 5 \cdot 0 < 2$

Passaggio 9.2.3

Il lato sinistro di $0$ è minore del lato destro di $2$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 9.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 9.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$3 {(4)}^{2} - 5 \cdot 4 < 2$

Passaggio 9.3.3

Il lato sinistro di $28$ non è minore del lato destro di $2$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 9.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - \frac{1}{3}$ Falso

$- \frac{1}{3} < x < 2$ Vero

$x > 2$ Falso

$x < - \frac{1}{3}$ Falso

$- \frac{1}{3} < x < 2$ Vero

$x > 2$ Falso

Passaggio 10

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- \frac{1}{3} < x < 2$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$- \frac{1}{3} < x < 2$

Notazione degli intervalli:

$(- \frac{1}{3}, 2)$

Passaggio 12