Matematica discreta Esempi

$\frac{x + 1}{x - 1} + 2 > 0$

Passaggio 1

Semplifica $\frac{x + 1}{x - 1} + 2$ .

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Passaggio 1.1

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{2 (x - 1)}{x - 1} > 0$

Passaggio 1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x + 1 + 2 (x - 1)}{x - 1} > 0$

Passaggio 1.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x + 1 + 2 x + 2 \cdot - 1}{x - 1} > 0$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x + 1 + 2 x - 2}{x - 1} > 0$

Passaggio 1.3.3

Somma $x$ e $2 x$ .

$\frac{3 x + 1 - 2}{x - 1} > 0$

Passaggio 1.3.4

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{3 x - 1}{x - 1} > 0$

Passaggio 2

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$3 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 3

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 1$

Passaggio 4

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 1$ e semplifica.

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Passaggio 4.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 1$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Passaggio 5

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 6

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = \frac{1}{3}$

$x = 1$

Passaggio 7

Consolida le soluzioni.

$x = \frac{1}{3}, 1$

Passaggio 8

Trova il dominio di $\frac{x + 1}{x - 1} + 2$ .

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Passaggio 8.1

Imposta il denominatore in $\frac{x + 1}{x - 1}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x - 1 = 0$

Passaggio 8.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 8.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 9

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3} < x < 1$

$x > 1$

Passaggio 10

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 10.1

Testa un valore sull'intervallo $x < \frac{1}{3}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < \frac{1}{3}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 10.1.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(0) + 1}{(0) - 1} + 2 > 0$

Passaggio 10.1.3

Il lato sinistro di $1$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 10.2

Testa un valore sull'intervallo $\frac{1}{3} < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{1}{3} < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0.67$

Passaggio 10.2.2

Sostituisci $x$ con $0.67$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(0.67) + 1}{(0.67) - 1} + 2 > 0$

Passaggio 10.2.3

Il lato sinistro di $- 3.\overline{06}$ non è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 10.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 10.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(4) + 1}{(4) - 1} + 2 > 0$

Passaggio 10.3.3

Il lato sinistro di $3.\overline{6}$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 10.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < \frac{1}{3}$ Vero

$\frac{1}{3} < x < 1$ Falso

$x > 1$ Vero

$x < \frac{1}{3}$ Vero

$\frac{1}{3} < x < 1$ Falso

$x > 1$ Vero

Passaggio 11

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < \frac{1}{3}$ o $x > 1$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$x < \frac{1}{3} or x > 1$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \frac{1}{3}) \cup (1, \infty)$

Passaggio 13