Matematica discreta Esempi

$\frac{2 x^{2} - 7 + 3}{{(x - 2)}^{2} (x + 1)} < 0$

Passaggio 1

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$2 x^{2} - 7 + 3 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 2

Somma $- 7$ e $3$ .

$2 x^{2} - 4 = 0$

Passaggio 3

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} = 4$

Passaggio 4

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x^{2} = 4$ e semplifica.

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Passaggio 4.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x^{2} = 4$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{4}{2}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{4}{2}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{2}$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.3.1

Dividi $4$ per $2$ .

$x^{2} = 2$

Passaggio 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Passaggio 6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 6.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{2}$

Passaggio 6.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{2}$

Passaggio 6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 7

Poni $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 8

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 9

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 10

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

$x = 2$

$x = - 1$

Passaggio 11

Consolida le soluzioni.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 2, - 1$

Passaggio 12

Trova il dominio di $\frac{2 x^{2} - 7 + 3}{{(x - 2)}^{2} (x + 1)}$ .

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Passaggio 12.1

Imposta il denominatore in $\frac{2 x^{2} - 7 + 3}{{(x - 2)}^{2} (x + 1)}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x - 2)}^{2} (x + 1) = 0$

Passaggio 12.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 12.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 12.2.2

Imposta ${(x - 2)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 12.2.2.1

Imposta ${(x - 2)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 12.2.2.2

Risolvi ${(x - 2)}^{2} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 12.2.2.2.1

Poni $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 12.2.2.2.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 12.2.3

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 12.2.3.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 12.2.3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 12.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${(x - 2)}^{2} (x + 1) = 0$ vera.

$x = 2, - 1$

Passaggio 12.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 13

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - \sqrt{2}$

$- \sqrt{2} < x < - 1$

$- 1 < x < \sqrt{2}$

$\sqrt{2} < x < 2$

$x > 2$

Passaggio 14

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 14.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - \sqrt{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 14.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - \sqrt{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 14.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{2 {(- 4)}^{2} - 7 + 3}{{((- 4) - 2)}^{2} ((- 4) + 1)} < 0$

Passaggio 14.1.3

Il lato sinistro di $- 0.\overline{259}$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 14.2

Testa un valore sull'intervallo $- \sqrt{2} < x < - 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 14.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- \sqrt{2} < x < - 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 1.21$

Passaggio 14.2.2

Sostituisci $x$ con $- 1.21$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{2 {(- 1.21)}^{2} - 7 + 3}{{((- 1.21) - 2)}^{2} ((- 1.21) + 1)} < 0$

Passaggio 14.2.3

Il lato sinistro di $0.49531832$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 14.3

Testa un valore sull'intervallo $- 1 < x < \sqrt{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 14.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 1 < x < \sqrt{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 14.3.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{2 {(0)}^{2} - 7 + 3}{{((0) - 2)}^{2} ((0) + 1)} < 0$

Passaggio 14.3.3

Il lato sinistro di $- 1$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 14.4

Testa un valore sull'intervallo $\sqrt{2} < x < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 14.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $\sqrt{2} < x < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 1.71$

Passaggio 14.4.2

Sostituisci $x$ con $1.71$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{2 {(1.71)}^{2} - 7 + 3}{{((1.71) - 2)}^{2} ((1.71) + 1)} < 0$

Passaggio 14.4.3

Il lato sinistro di $8.10930582$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 14.5

Testa un valore sull'intervallo $x > 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 14.5.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 14.5.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{2 {(4)}^{2} - 7 + 3}{{((4) - 2)}^{2} ((4) + 1)} < 0$

Passaggio 14.5.3

Il lato sinistro di $1.4$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 14.6

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - \sqrt{2}$ Vero

$- \sqrt{2} < x < - 1$ Falso

$- 1 < x < \sqrt{2}$ Vero

$\sqrt{2} < x < 2$ Falso

$x > 2$ Falso

$x < - \sqrt{2}$ Vero

$- \sqrt{2} < x < - 1$ Falso

$- 1 < x < \sqrt{2}$ Vero

$\sqrt{2} < x < 2$ Falso

$x > 2$ Falso

Passaggio 15

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - \sqrt{2}$ o $- 1 < x < \sqrt{2}$

Passaggio 16

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$x < - \sqrt{2} or - 1 < x < \sqrt{2}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - \sqrt{2}) \cup (- 1, \sqrt{2})$

Passaggio 17