Matematica discreta Esempi

$\frac{14}{x^{2} - 3 x} - \frac{8}{x} > - \frac{10}{x - 3}$

Passaggio 1

Aggiungi $\frac{10}{x - 3}$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{14}{x^{2} - 3 x} - \frac{8}{x} + \frac{10}{x - 3} > 0$

Passaggio 2

Semplifica $\frac{14}{x^{2} - 3 x} - \frac{8}{x} + \frac{10}{x - 3}$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi $x$ da $x^{2} - 3 x$ .

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Passaggio 2.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{14}{x \cdot x - 3 x} - \frac{8}{x} + \frac{10}{x - 3} > 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $x$ da $- 3 x$ .

$\frac{14}{x \cdot x + x \cdot - 3} - \frac{8}{x} + \frac{10}{x - 3} > 0$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot - 3$ .

$\frac{14}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} + \frac{10}{x - 3} > 0$

Passaggio 2.2

Per scrivere $\frac{10}{x - 3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{14}{x (x - 3)} + \frac{10}{x - 3} \cdot \frac{x}{x} - \frac{8}{x} > 0$

Passaggio 2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $x (x - 3)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $\frac{10}{x - 3}$ per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{14}{x (x - 3)} + \frac{10 x}{(x - 3) x} - \frac{8}{x} > 0$

Passaggio 2.3.2

Riordina i fattori di $(x - 3) x$ .

$\frac{14}{x (x - 3)} + \frac{10 x}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} > 0$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{14 + 10 x}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} > 0$

Passaggio 2.5

Scomponi $2$ da $14 + 10 x$ .

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Passaggio 2.5.1

Scomponi $2$ da $14$ .

$\frac{2 (7) + 10 x}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} > 0$

Passaggio 2.5.2

Scomponi $2$ da $10 x$ .

$\frac{2 (7) + 2 (5 x)}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} > 0$

Passaggio 2.5.3

Scomponi $2$ da $2 (7) + 2 (5 x)$ .

$\frac{2 (7 + 5 x)}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} > 0$

Passaggio 2.6

Per scrivere $- \frac{8}{x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{2 (7 + 5 x)}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} > 0$

Passaggio 2.7

Moltiplica $\frac{8}{x}$ per $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{2 (7 + 5 x)}{x (x - 3)} - \frac{8 (x - 3)}{x (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 (7 + 5 x) - 8 (x - 3)}{x (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.9.1

Scomponi $2$ da $2 (7 + 5 x) - 8 (x - 3)$ .

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Passaggio 2.9.1.1

Scomponi $2$ da $- 8 (x - 3)$ .

$\frac{2 (7 + 5 x) + 2 (- 4 (x - 3))}{x (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.9.1.2

Scomponi $2$ da $2 (7 + 5 x) + 2 (- 4 (x - 3))$ .

$\frac{2 (7 + 5 x - 4 (x - 3))}{x (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.9.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (7 + 5 x - 4 x - 4 \cdot - 3)}{x (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.9.3

Moltiplica $- 4$ per $- 3$ .

$\frac{2 (7 + 5 x - 4 x + 12)}{x (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.9.4

Somma $7$ e $12$ .

$\frac{2 (5 x - 4 x + 19)}{x (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.9.5

Sottrai $4 x$ da $5 x$ .

$\frac{2 (x + 19)}{x (x - 3)} > 0$

Passaggio 3

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x = 0$

$x + 19 = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 4

Sottrai $19$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 19$

Passaggio 5

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 6

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 0$

$x = - 19$

$x = 3$

Passaggio 7

Consolida le soluzioni.

$x = 0, - 19, 3$

Passaggio 8

Trova il dominio di $\frac{2 (x + 19)}{x (x - 3)}$ .

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Passaggio 8.1

Imposta il denominatore in $\frac{2 (x + 19)}{x (x - 3)}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x (x - 3) = 0$

Passaggio 8.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 8.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 8.2.2

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 8.2.3

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 8.2.3.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 8.2.3.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 8.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (x - 3) = 0$ vera.

$x = 0, 3$

Passaggio 8.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Passaggio 9

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 19$

$- 19 < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Passaggio 10

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 10.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 19$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 19$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 22$

Passaggio 10.1.2

Sostituisci $x$ con $- 22$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{14}{{(- 22)}^{2} - 3 \cdot - 22} - \frac{8}{- 22} > - \frac{10}{(- 22) - 3}$

Passaggio 10.1.3

Il lato sinistro di $0.38\overline{90}$ non è maggiore del lato destro di $0.4$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 10.2

Testa un valore sull'intervallo $- 19 < x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 19 < x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 10.2.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{14}{{(- 2)}^{2} - 3 \cdot - 2} - \frac{8}{- 2} > - \frac{10}{(- 2) - 3}$

Passaggio 10.2.3

Il lato sinistro di $5.4$ è maggiore del lato destro di $2$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 10.3

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 10.3.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{14}{{(2)}^{2} - 3 \cdot 2} - \frac{8}{2} > - \frac{10}{(2) - 3}$

Passaggio 10.3.3

Il lato sinistro di $- 11$ non è maggiore del lato destro di $10$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 10.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 10.4.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{14}{{(6)}^{2} - 3 \cdot 6} - \frac{8}{6} > - \frac{10}{(6) - 3}$

Passaggio 10.4.3

Il lato sinistro di $- 0.\overline{5}$ è maggiore del lato destro di $- 3.\overline{3}$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 10.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 19$ Falso

$- 19 < x < 0$ Vero

$0 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Vero

$x < - 19$ Falso

$- 19 < x < 0$ Vero

$0 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Vero

Passaggio 11

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 19 < x < 0$ o $x > 3$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$- 19 < x < 0 or x > 3$

Notazione degli intervalli:

$(- 19, 0) \cup (3, \infty)$

Passaggio 13