Matematica discreta Esempi

∣ ∣ ∣ \frac{1}{8} - x ∣ ∣ ∣ < 3

$| \frac{1}{8} - x | < 3$

Passaggio 1

Scrivi

∣ ∣ ∣ \frac{1}{8} - x ∣ ∣ ∣ < 3

$| \frac{1}{8} - x | < 3$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

\frac{1}{8} - x \geq 0

$\frac{1}{8} - x \geq 0$

Passaggio 1.2

Risolvi la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sottrai

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

- x \geq - \frac{1}{8}

$- x \geq - \frac{1}{8}$

Passaggio 1.2.2

Dividi per

- 1

$- 1$ ciascun termine in

- x \geq - \frac{1}{8}

$- x \geq - \frac{1}{8}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Dividi per

- 1

$- 1$ ciascun termine in

- x \geq - \frac{1}{8}

$- x \geq - \frac{1}{8}$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

Passaggio 1.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

\frac{x}{1} \leq \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}

$\frac{x}{1} \leq \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

Passaggio 1.2.2.2.2

Dividi

x

$x$ per

1

$1$ .

x \leq \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}

$x \leq \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

x \leq \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}

$x \leq \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

Passaggio 1.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

x \leq \frac{\frac{1}{8}}{1}

$x \leq \frac{\frac{1}{8}}{1}$

Passaggio 1.2.2.3.2

Dividi

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ per

1

$1$ .

x \leq \frac{1}{8}

$x \leq \frac{1}{8}$

x \leq \frac{1}{8}

$x \leq \frac{1}{8}$

x \leq \frac{1}{8}

$x \leq \frac{1}{8}$

x \leq \frac{1}{8}

$x \leq \frac{1}{8}$

Passaggio 1.3

Nella parte in cui

\frac{1}{8} - x

$\frac{1}{8} - x$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

\frac{1}{8} - x < 3

$\frac{1}{8} - x < 3$

Passaggio 1.4

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

\frac{1}{8} - x < 0

$\frac{1}{8} - x < 0$

Passaggio 1.5

Risolvi la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Sottrai

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

- x < - \frac{1}{8}

$- x < - \frac{1}{8}$

Passaggio 1.5.2

Dividi per

- 1

$- 1$ ciascun termine in

- x < - \frac{1}{8}

$- x < - \frac{1}{8}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Dividi per

- 1

$- 1$ ciascun termine in

- x < - \frac{1}{8}

$- x < - \frac{1}{8}$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

\frac{- x}{- 1} > \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}

$\frac{- x}{- 1} > \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

Passaggio 1.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

\frac{x}{1} > \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}

$\frac{x}{1} > \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

Passaggio 1.5.2.2.2

Dividi

x

$x$ per

1

$1$ .

x > \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}

$x > \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

x > \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}

$x > \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

Passaggio 1.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

x > \frac{\frac{1}{8}}{1}

$x > \frac{\frac{1}{8}}{1}$

Passaggio 1.5.2.3.2

Dividi

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ per

1

$1$ .

x > \frac{1}{8}

$x > \frac{1}{8}$

x > \frac{1}{8}

$x > \frac{1}{8}$

x > \frac{1}{8}

$x > \frac{1}{8}$

x > \frac{1}{8}

$x > \frac{1}{8}$

Passaggio 1.6

Nella parte in cui

\frac{1}{8} - x

$\frac{1}{8} - x$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per

- 1

$- 1$ .

- (\frac{1}{8} - x) < 3

$- (\frac{1}{8} - x) < 3$

Passaggio 1.7

Scrivi a tratti.

⎧ ⎨ ⎩ \begin{matrix} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} - (\frac{1}{8} - x) < 3 & x > \frac{1}{8} \end{matrix}

${\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - (\frac{1}{8} - x) < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}$

Passaggio 1.8

Semplifica

- (\frac{1}{8} - x) < 3

$- (\frac{1}{8} - x) < 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Applica la proprietà distributiva.

{\begin{matrix} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} - \frac{1}{8} - - x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{matrix}

${\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} - - x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}$

Passaggio 1.8.2

Moltiplica

- - x

$- - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.2.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 1

$- 1$ .

{\begin{matrix} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} - \frac{1}{8} + 1 x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{matrix}

${\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} + 1 x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}$

Passaggio 1.8.2.2

Moltiplica

x

$x$ per

1

$1$ .

{\begin{matrix} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} - \frac{1}{8} + x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{matrix}

${\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} + x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}$

{\begin{matrix} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} - \frac{1}{8} + x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{matrix}

${\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} + x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}$

{\begin{matrix} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} - \frac{1}{8} + x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{matrix}

${\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} + x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}$

{\begin{matrix} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} - \frac{1}{8} + x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{matrix}

${\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} + x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}$

Passaggio 2

Risolvi

\frac{1}{8} - x < 3

$\frac{1}{8} - x < 3$ dove

x \leq \frac{1}{8}

$x \leq \frac{1}{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi

\frac{1}{8} - x < 3

$\frac{1}{8} - x < 3$ per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sposta tutti i termini non contenenti

x

$x$ sul lato destro della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Sottrai

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

- x < 3 - \frac{1}{8}

$- x < 3 - \frac{1}{8}$

Passaggio 2.1.1.2

Per scrivere

3

$3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

\frac{8}{8}

$\frac{8}{8}$ .

- x < 3 \cdot \frac{8}{8} - \frac{1}{8}

$- x < 3 \cdot \frac{8}{8} - \frac{1}{8}$

Passaggio 2.1.1.3

3

$3$ e

\frac{8}{8}

$\frac{8}{8}$ .

- x < \frac{3 \cdot 8}{8} - \frac{1}{8}

$- x < \frac{3 \cdot 8}{8} - \frac{1}{8}$

Passaggio 2.1.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

- x < \frac{3 \cdot 8 - 1}{8}

$- x < \frac{3 \cdot 8 - 1}{8}$

Passaggio 2.1.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.5.1

Moltiplica

3

$3$ per

8

$8$ .

- x < \frac{24 - 1}{8}

$- x < \frac{24 - 1}{8}$

Passaggio 2.1.1.5.2

Sottrai

1

$1$ da

24

$24$ .

- x < \frac{23}{8}

$- x < \frac{23}{8}$

- x < \frac{23}{8}

$- x < \frac{23}{8}$

- x < \frac{23}{8}

$- x < \frac{23}{8}$

Passaggio 2.1.2

Dividi per

- 1

$- 1$ ciascun termine in

- x < \frac{23}{8}

$- x < \frac{23}{8}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Dividi per

- 1

$- 1$ ciascun termine in

- x < \frac{23}{8}

$- x < \frac{23}{8}$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

\frac{- x}{- 1} > \frac{\frac{23}{8}}{- 1}

$\frac{- x}{- 1} > \frac{\frac{23}{8}}{- 1}$

Passaggio 2.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

\frac{x}{1} > \frac{\frac{23}{8}}{- 1}

$\frac{x}{1} > \frac{\frac{23}{8}}{- 1}$

Passaggio 2.1.2.2.2

Dividi

x

$x$ per

1

$1$ .

x > \frac{\frac{23}{8}}{- 1}

$x > \frac{\frac{23}{8}}{- 1}$

x > \frac{\frac{23}{8}}{- 1}

$x > \frac{\frac{23}{8}}{- 1}$

Passaggio 2.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Sposta quello negativo dal denominatore di

\frac{\frac{23}{8}}{- 1}

$\frac{\frac{23}{8}}{- 1}$ .

x > - 1 \cdot \frac{23}{8}

$x > - 1 \cdot \frac{23}{8}$

Passaggio 2.1.2.3.2

Riscrivi

- 1 \cdot \frac{23}{8}

$- 1 \cdot \frac{23}{8}$ come

- \frac{23}{8}

$- \frac{23}{8}$ .

x > - \frac{23}{8}

$x > - \frac{23}{8}$

x > - \frac{23}{8}

$x > - \frac{23}{8}$

x > - \frac{23}{8}

$x > - \frac{23}{8}$

x > - \frac{23}{8}

$x > - \frac{23}{8}$

Passaggio 2.2

Trova l'intersezione di

x > - \frac{23}{8}

$x > - \frac{23}{8}$ e

x \leq \frac{1}{8}

$x \leq \frac{1}{8}$ .

- \frac{23}{8} < x \leq \frac{1}{8}

$- \frac{23}{8} < x \leq \frac{1}{8}$

- \frac{23}{8} < x \leq \frac{1}{8}

$- \frac{23}{8} < x \leq \frac{1}{8}$

Passaggio 3

Risolvi

- \frac{1}{8} + x < 3

$- \frac{1}{8} + x < 3$ dove

x > \frac{1}{8}

$x > \frac{1}{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini non contenenti

x

$x$ sul lato destro della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Aggiungi

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

x < 3 + \frac{1}{8}

$x < 3 + \frac{1}{8}$

Passaggio 3.1.2

Per scrivere

3

$3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

\frac{8}{8}

$\frac{8}{8}$ .

x < 3 \cdot \frac{8}{8} + \frac{1}{8}

$x < 3 \cdot \frac{8}{8} + \frac{1}{8}$

Passaggio 3.1.3

3

$3$ e

\frac{8}{8}

$\frac{8}{8}$ .

x < \frac{3 \cdot 8}{8} + \frac{1}{8}

$x < \frac{3 \cdot 8}{8} + \frac{1}{8}$

Passaggio 3.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

x < \frac{3 \cdot 8 + 1}{8}

$x < \frac{3 \cdot 8 + 1}{8}$

Passaggio 3.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.5.1

Moltiplica

3

$3$ per

8

$8$ .

x < \frac{24 + 1}{8}

$x < \frac{24 + 1}{8}$

Passaggio 3.1.5.2

Somma

24

$24$ e

1

$1$ .

x < \frac{25}{8}

$x < \frac{25}{8}$

x < \frac{25}{8}

$x < \frac{25}{8}$

x < \frac{25}{8}

$x < \frac{25}{8}$

Passaggio 3.2

Trova l'intersezione di

x < \frac{25}{8}

$x < \frac{25}{8}$ e

x > \frac{1}{8}

$x > \frac{1}{8}$ .

\frac{1}{8} < x < \frac{25}{8}

$\frac{1}{8} < x < \frac{25}{8}$

\frac{1}{8} < x < \frac{25}{8}

$\frac{1}{8} < x < \frac{25}{8}$

Passaggio 4

Trova l'unione delle soluzioni.

- \frac{23}{8} < x < \frac{25}{8}

$- \frac{23}{8} < x < \frac{25}{8}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

- \frac{23}{8} < x < \frac{25}{8}

$- \frac{23}{8} < x < \frac{25}{8}$

Notazione degli intervalli:

(- \frac{23}{8}, \frac{25}{8})

$(- \frac{23}{8}, \frac{25}{8})$

Passaggio 6