Matematica discreta Esempi

$\log (x - 2) - \log (2 x + 1) = \log (\frac{1}{x})$

Passaggio 1

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x - 2}{2 x + 1}) = \log (\frac{1}{x})$

Passaggio 2

Affinché l'equazione sia uguale, l'argomento dei logaritmi su entrambi i lati dell'equazione deve essere uguale.

$\frac{x - 2}{2 x + 1} = \frac{1}{x}$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica il numeratore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione. Imposta questa operazione perché sia uguale al prodotto del denominatore della prima frazione per il numeratore della seconda frazione.

$(x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1$

Passaggio 3.2

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica $(x - 2) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Riscrivi.

$0 + 0 + (x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$(x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1$

Passaggio 3.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1$

Passaggio 3.2.1.4

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $2 x + 1$ per $1$ .

$x^{2} - 2 x = 2 x + 1$

Passaggio 3.2.3

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.2.3.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 2 x - 2 x = 1$

Passaggio 3.2.3.2

Sottrai $2 x$ da $- 2 x$ .

$x^{2} - 4 x = 1$

Passaggio 3.2.4

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Passaggio 3.2.5

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.2.6

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 4$ e $c = - 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.2.7

Semplifica.

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Passaggio 3.2.7.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.2.7.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.2.7.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.2.7.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.2.7.1.3

Somma $16$ e $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.2.7.1.4

Riscrivi $20$ come $2^{2} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.1.4.1

Scomponi $4$ da $20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.2.7.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.2.7.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.2.7.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 3.2.7.3

Semplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

Passaggio 3.2.8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

Passaggio 4

Escludi le soluzioni che non rendono $\log (x - 2) - \log (2 x + 1) = \log (\frac{1}{x})$ vera.

$x = 2 + \sqrt{5}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = 2 + \sqrt{5}$

Forma decimale:

$x = 4.23606797 \dots$