Matematica discreta Esempi

$5 \sin (x) + 2 \cos (x) = 5$

Passaggio 1

Utilizza l'identità per risolvere l'equazione. In questa identità, $θ$ rappresenta l'angolo creato tracciando il punto $(a, b)$ su un grafico e di conseguenza può essere trovato mediante $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ dove $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ e $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Passaggio 2

Imposta l'equazione per trovare il valore di $θ$ .

$\tan^{-1} (\frac{2}{5})$

Passaggio 3

Calcola $\tan^{-1} (\frac{2}{5})$ .

$θ = 0.38050637$

Passaggio 4

Risolvi per trovare il valore di $R$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$R = \sqrt{25 + {(2)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$R = \sqrt{25 + 4}$

Passaggio 4.3

Somma $25$ e $4$ .

$R = \sqrt{29}$

Passaggio 5

Sostituisci i valori noti nell'equazione.

$(\sqrt{29}) \sin (x + 0.38050637) = 5$

Passaggio 6

Dividi per $\sqrt{29}$ ciascun termine in $\sqrt{29} \sin (x + 0.38050637) = 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Dividi per $\sqrt{29}$ ciascun termine in $\sqrt{29} \sin (x + 0.38050637) = 5$ .

$\frac{\sqrt{29} \sin (x + 0.38050637)}{\sqrt{29}} = \frac{5}{\sqrt{29}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune di $\sqrt{29}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{29} \sin (x + 0.38050637)}{\sqrt{29}} = \frac{5}{\sqrt{29}}$

Passaggio 6.2.1.2

Dividi $\sin (x + 0.38050637)$ per $1$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5}{\sqrt{29}}$

Passaggio 6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica $\frac{5}{\sqrt{29}}$ per $\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5}{\sqrt{29}} \cdot \frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$

Passaggio 6.3.2

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Moltiplica $\frac{5}{\sqrt{29}}$ per $\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{\sqrt{29} \sqrt{29}}$

Passaggio 6.3.2.2

Eleva $\sqrt{29}$ alla potenza di $1$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{1} \sqrt{29}}$

Passaggio 6.3.2.3

Eleva $\sqrt{29}$ alla potenza di $1$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{1} {\sqrt{29}}^{1}}$

Passaggio 6.3.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{1 + 1}}$

Passaggio 6.3.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{2}}$

Passaggio 6.3.2.6

Riscrivi ${\sqrt{29}}^{2}$ come $29$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{29}$ come $29^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{{(29^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 6.3.2.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{29^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 6.3.2.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{29^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 6.3.2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{29^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 6.3.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{29^{1}}$

Passaggio 6.3.2.6.5

Calcola l'esponente.

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{29}$

Passaggio 7

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x + 0.38050637 = \sin^{-1} (\frac{5 \sqrt{29}}{29})$

Passaggio 8

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.1

Calcola $\sin^{-1} (\frac{5 \sqrt{29}}{29})$ .

$x + 0.38050637 = 1.19028994$

Passaggio 9

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sottrai $0.38050637$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1.19028994 - 0.38050637$

Passaggio 9.2

Sottrai $0.38050637$ da $1.19028994$ .

$x = 0.80978357$

Passaggio 10

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x + 0.38050637 = (3.14159265) - 1.19028994$

Passaggio 11

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 11.1

Sottrai $1.19028994$ da $3.14159265$ .

$x + 0.38050637 = 1.9513027$

Passaggio 11.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Sottrai $0.38050637$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1.9513027 - 0.38050637$

Passaggio 11.2.2

Sottrai $0.38050637$ da $1.9513027$ .

$x = 1.57079632$

Passaggio 12

Trova il periodo di $\sin (x + 0.38050637)$ .

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Passaggio 12.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 12.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 12.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 12.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 13

Il periodo della funzione $\sin (x + 0.38050637)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 0.80978357 + 2 π n, 1.57079632 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$