Matematica discreta Esempi

$5 \ln (8 x) = 20 - 2 \ln (x)$

Passaggio 1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$5 \ln (8 x) + 2 \ln (x) = 20$

Passaggio 2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica $5 \ln (8 x) + 2 \ln (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Semplifica $5 \ln (8 x)$ spostando $5$ all'interno del logaritmo.

$\ln ({(8 x)}^{5}) + 2 \ln (x) = 20$

Passaggio 2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $8 x$ .

$\ln (8^{5} x^{5}) + 2 \ln (x) = 20$

Passaggio 2.1.1.3

Eleva $8$ alla potenza di $5$ .

$\ln (32768 x^{5}) + 2 \ln (x) = 20$

Passaggio 2.1.1.4

Semplifica $2 \ln (x)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\ln (32768 x^{5}) + \ln (x^{2}) = 20$

Passaggio 2.1.2

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (32768 x^{5} x^{2}) = 20$

Passaggio 2.1.3

Moltiplica $x^{5}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Sposta $x^{2}$ .

$\ln (32768 (x^{2} x^{5})) = 20$

Passaggio 2.1.3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\ln (32768 x^{2 + 5}) = 20$

Passaggio 2.1.3.3

Somma $2$ e $5$ .

$\ln (32768 x^{7}) = 20$

Passaggio 3

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione utilizzando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (32768 x^{7})} = e^{20}$

Passaggio 4

Riscrivi $\ln (32768 x^{7}) = 20$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{20} = 32768 x^{7}$

Passaggio 5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $32768 x^{7} = e^{20}$ .

$32768 x^{7} = e^{20}$

Passaggio 5.2

Dividi per $32768$ ciascun termine in $32768 x^{7} = e^{20}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Dividi per $32768$ ciascun termine in $32768 x^{7} = e^{20}$ .

$\frac{32768 x^{7}}{32768} = \frac{e^{20}}{32768}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $32768$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{32768 x^{7}}{32768} = \frac{e^{20}}{32768}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Dividi $x^{7}$ per $1$ .

$x^{7} = \frac{e^{20}}{32768}$

Passaggio 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[7]{\frac{e^{20}}{32768}}$

Passaggio 5.4

Semplifica $\sqrt[7]{\frac{e^{20}}{32768}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Riscrivi $\sqrt[7]{\frac{e^{20}}{32768}}$ come $\frac{\sqrt[7]{e^{20}}}{\sqrt[7]{32768}}$ .

$x = \frac{\sqrt[7]{e^{20}}}{\sqrt[7]{32768}}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Riscrivi $e^{20}$ come ${(e^{2})}^{7} e^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Metti in evidenza $e^{14}$ .

$x = \frac{\sqrt[7]{e^{14} e^{6}}}{\sqrt[7]{32768}}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Riscrivi $e^{14}$ come ${(e^{2})}^{7}$ .

$x = \frac{\sqrt[7]{{(e^{2})}^{7} e^{6}}}{\sqrt[7]{32768}}$

Passaggio 5.4.2.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{\sqrt[7]{32768}}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Riscrivi $32768$ come $4^{7} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1

Scomponi $16384$ da $32768$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{\sqrt[7]{16384 (2)}}$

Passaggio 5.4.3.1.2

Riscrivi $16384$ come $4^{7}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{\sqrt[7]{4^{7} \cdot 2}}$

Passaggio 5.4.3.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{4 \sqrt[7]{2}}$

Passaggio 5.4.4

Moltiplica $\frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{4 \sqrt[7]{2}}$ per $\frac{{\sqrt[7]{2}}^{6}}{{\sqrt[7]{2}}^{6}}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{4 \sqrt[7]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[7]{2}}^{6}}{{\sqrt[7]{2}}^{6}}$

Passaggio 5.4.5

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.5.1

Moltiplica $\frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{4 \sqrt[7]{2}}$ per $\frac{{\sqrt[7]{2}}^{6}}{{\sqrt[7]{2}}^{6}}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \sqrt[7]{2} {\sqrt[7]{2}}^{6}}$

Passaggio 5.4.5.2

Sposta $\sqrt[7]{2}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 (\sqrt[7]{2} {\sqrt[7]{2}}^{6})}$

Passaggio 5.4.5.3

Eleva $\sqrt[7]{2}$ alla potenza di $1$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 ({\sqrt[7]{2}}^{1} {\sqrt[7]{2}}^{6})}$

Passaggio 5.4.5.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 {\sqrt[7]{2}}^{1 + 6}}$

Passaggio 5.4.5.5

Somma $1$ e $6$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 {\sqrt[7]{2}}^{7}}$

Passaggio 5.4.5.6

Riscrivi ${\sqrt[7]{2}}^{7}$ come $2$ .

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Passaggio 5.4.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[7]{2}$ come $2^{\frac{1}{7}}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 {(2^{\frac{1}{7}})}^{7}}$

Passaggio 5.4.5.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \cdot 2^{\frac{1}{7} \cdot 7}}$

Passaggio 5.4.5.6.3

$\frac{1}{7}$ e $7$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \cdot 2^{\frac{7}{7}}}$

Passaggio 5.4.5.6.4

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.5.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \cdot 2^{\frac{7}{7}}}$

Passaggio 5.4.5.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \cdot 2^{1}}$

Passaggio 5.4.5.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \cdot 2}$

Passaggio 5.4.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.6.1

Riscrivi ${\sqrt[7]{2}}^{6}$ come $\sqrt[7]{2^{6}}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} \sqrt[7]{2^{6}}}{4 \cdot 2}$

Passaggio 5.4.6.2

Eleva $2$ alla potenza di $6$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} \sqrt[7]{64}}{4 \cdot 2}$

Passaggio 5.4.6.3

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{64 e^{6}}}{4 \cdot 2}$

Passaggio 5.4.7

Moltiplica $4$ per $2$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{64 e^{6}}}{8}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{64 e^{6}}}{8}$

Forma decimale:

$x = 3.94254900 \dots$