Matematica discreta Esempi

$\frac{x - 2}{3} < \frac{5}{x}$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{5}{x}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{x - 2}{3} - \frac{5}{x} < 0$

Passaggio 2

Semplifica $\frac{x - 2}{3} - \frac{5}{x}$ .

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Passaggio 2.1

Per scrivere $\frac{x - 2}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x - 2}{3} \cdot \frac{x}{x} - \frac{5}{x} < 0$

Passaggio 2.2

Per scrivere $- \frac{5}{x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x - 2}{3} \cdot \frac{x}{x} - \frac{5}{x} \cdot \frac{3}{3} < 0$

Passaggio 2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $3 x$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $\frac{x - 2}{3}$ per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x - 2) x}{3 x} - \frac{5}{x} \cdot \frac{3}{3} < 0$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $\frac{5}{x}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(x - 2) x}{3 x} - \frac{5 \cdot 3}{x \cdot 3} < 0$

Passaggio 2.3.3

Riordina i fattori di $x \cdot 3$ .

$\frac{(x - 2) x}{3 x} - \frac{5 \cdot 3}{3 x} < 0$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(x - 2) x - 5 \cdot 3}{3 x} < 0$

Passaggio 2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x - 2 x - 5 \cdot 3}{3 x} < 0$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 5 \cdot 3}{3 x} < 0$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica $- 5$ per $3$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 15}{3 x} < 0$

Passaggio 2.5.4

Scomponi $x^{2} - 2 x - 15$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.5.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 15$ e la cui somma è $- 2$ .

$- 5, 3$

Passaggio 2.5.4.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{(x - 5) (x + 3)}{3 x} < 0$

Passaggio 3

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$3 x = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

Passaggio 4

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 0$ e semplifica.

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Passaggio 4.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 0$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.3.1

Dividi $0$ per $3$ .

$x = 0$

Passaggio 5

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 6

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 7

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 0$

$x = 5$

$x = - 3$

Passaggio 8

Consolida le soluzioni.

$x = 0, 5, - 3$

Passaggio 9

Trova il dominio di $\frac{(x - 5) (x + 3)}{3 x}$ .

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Passaggio 9.1

Imposta il denominatore in $\frac{(x - 5) (x + 3)}{3 x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$3 x = 0$

Passaggio 9.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 0$ e semplifica.

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Passaggio 9.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 0$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 9.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 9.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 9.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Passaggio 9.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 9.2.3.1

Dividi $0$ per $3$ .

$x = 0$

Passaggio 9.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 10

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$0 < x < 5$

$x > 5$

Passaggio 11

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 11.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 11.1.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(- 6) - 2}{3} < \frac{5}{- 6}$

Passaggio 11.1.3

Il lato sinistro di $- 2.\overline{6}$ è minore del lato destro di $- 0.8\overline{3}$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 11.2

Testa un valore sull'intervallo $- 3 < x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 3 < x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 11.2.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(- 2) - 2}{3} < \frac{5}{- 2}$

Passaggio 11.2.3

Il lato sinistro di $- 1.\overline{3}$ non è minore del lato destro di $- 2.5$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 11.3

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 11.3.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(2) - 2}{3} < \frac{5}{2}$

Passaggio 11.3.3

Il lato sinistro di $0$ è minore del lato destro di $2.5$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 11.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 8$

Passaggio 11.4.2

Sostituisci $x$ con $8$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(8) - 2}{3} < \frac{5}{8}$

Passaggio 11.4.3

Il lato sinistro di $2$ non è minore del lato destro di $0.625$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 11.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 3$ Vero

$- 3 < x < 0$ Falso

$0 < x < 5$ Vero

$x > 5$ Falso

$x < - 3$ Vero

$- 3 < x < 0$ Falso

$0 < x < 5$ Vero

$x > 5$ Falso

Passaggio 12

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - 3$ o $0 < x < 5$

Passaggio 13

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$x < - 3 or 0 < x < 5$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 3) \cup (0, 5)$

Passaggio 14