Matematica discreta Esempi

$2 x^{6} - 5 x^{3} - 12 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $x^{6}$ come ${(x^{3})}^{2}$ .

$2 {(x^{3})}^{2} - 5 x^{3} - 12 = 0$

Passaggio 1.2

Sia $u = x^{3}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{3}$ con $u$ .

$2 u^{2} - 5 u - 12 = 0$

Passaggio 1.3

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 1.3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 12 = - 24$ e la cui somma è $b = - 5$ .

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Passaggio 1.3.1.1

Scomponi $- 5$ da $- 5 u$ .

$2 u^{2} - 5 u - 12 = 0$

Passaggio 1.3.1.2

Riscrivi $- 5$ come $3$ più $- 8$ .

$2 u^{2} + (3 - 8) u - 12 = 0$

Passaggio 1.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 u^{2} + 3 u - 8 u - 12 = 0$

Passaggio 1.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 1.3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(2 u^{2} + 3 u) - 8 u - 12 = 0$

Passaggio 1.3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$u (2 u + 3) - 4 (2 u + 3) = 0$

Passaggio 1.3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 u + 3$ .

$(2 u + 3) (u - 4) = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3}$ .

$(2 x^{3} + 3) (x^{3} - 4) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 x^{3} + 3 = 0$

$x^{3} - 4 = 0$

Passaggio 3

Imposta $2 x^{3} + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $2 x^{3} + 3$ uguale a $0$ .

$2 x^{3} + 3 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $2 x^{3} + 3 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{3} = - 3$

Passaggio 3.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x^{3} = - 3$ e semplifica.

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Passaggio 3.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x^{3} = - 3$ .

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{- 3}{2}$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{- 3}{2}$

Passaggio 3.2.2.2.1.2

Dividi $x^{3}$ per $1$ .

$x^{3} = \frac{- 3}{2}$

Passaggio 3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{3} = - \frac{3}{2}$

Passaggio 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 3.2.4

Semplifica $\sqrt[3]{- \frac{3}{2}}$ .

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Passaggio 3.2.4.1

Riscrivi $- \frac{3}{2}$ come ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{3}{2}$ .

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Passaggio 3.2.4.1.1

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{3}{2}}$

Passaggio 3.2.4.1.2

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{3}{2}}$

Passaggio 3.2.4.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{3}{2}}$

Passaggio 3.2.4.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$x = - \sqrt[3]{\frac{3}{2}}$

Passaggio 3.2.4.4

Riscrivi $\sqrt[3]{\frac{3}{2}}$ come $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$

Passaggio 3.2.4.5

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = - (\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}})$

Passaggio 3.2.4.6

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.2.4.6.1

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Passaggio 3.2.4.6.2

Eleva $\sqrt[3]{2}$ alla potenza di $1$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Passaggio 3.2.4.6.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Passaggio 3.2.4.6.4

Somma $1$ e $2$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Passaggio 3.2.4.6.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ come $2$ .

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Passaggio 3.2.4.6.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{2}$ come $2^{\frac{1}{3}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Passaggio 3.2.4.6.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Passaggio 3.2.4.6.5.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 3.2.4.6.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 3.2.4.6.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 3.2.4.6.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Passaggio 3.2.4.6.5.5

Calcola l'esponente.

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Passaggio 3.2.4.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.2.4.7.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ come $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Passaggio 3.2.4.7.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{4}}{2}$

Passaggio 3.2.4.8

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.2.4.8.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$x = - \frac{\sqrt[3]{3 \cdot 4}}{2}$

Passaggio 3.2.4.8.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{12}}{2}$

Passaggio 4

Imposta $x^{3} - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $x^{3} - 4$ uguale a $0$ .

$x^{3} - 4 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $x^{3} - 4 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} = 4$

Passaggio 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{4}$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 x^{3} + 3) (x^{3} - 4) = 0$ vera.

$x = - \frac{\sqrt[3]{12}}{2}, \sqrt[3]{4}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = - \frac{\sqrt[3]{12}}{2}, \sqrt[3]{4}$

Forma decimale:

$x = - 1.14471424 \dots, 1.58740105 \dots$