Matematica discreta Esempi

$\frac{a}{x - b} + \frac{b}{x - a} = 2$

Passaggio 1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x - b, x - a, 1$

Passaggio 1.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 1.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 1.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 1.5

Il fattore di $x - b$ è $x - b$ stesso.

$(x - b) = x - b$

$(x - b)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.6

Il fattore di $x - a$ è $x - a$ stesso.

$(x - a) = x - a$

$(x - a)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.7

Il minimo comune multiplo di $x - b, x - a$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(x - b) (x - a)$

Passaggio 2

Moltiplica per $(x - b) (x - a)$ ciascun termine in $\frac{a}{x - b} + \frac{b}{x - a} = 2$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{a}{x - b} + \frac{b}{x - a} = 2$ per $(x - b) (x - a)$ .

$\frac{a}{x - b} ((x - b) (x - a)) + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x - b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{a}{x - b} ((x - b) (x - a)) + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

Passaggio 2.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$a (x - a) + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

Passaggio 2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$a x + a (- a) + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

Passaggio 2.2.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$a x - a \cdot a + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

Passaggio 2.2.1.4

Moltiplica $a$ per $a$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.4.1

Sposta $a$ .

$a x - (a \cdot a) + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

Passaggio 2.2.1.4.2

Moltiplica $a$ per $a$ .

$a x - a^{2} + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

Passaggio 2.2.1.5

Elimina il fattore comune di $x - a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.5.1

Scomponi $x - a$ da $(x - b) (x - a)$ .

$a x - a^{2} + \frac{b}{x - a} ((x - a) (x - b)) = 2 ((x - b) (x - a))$

Passaggio 2.2.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$a x - a^{2} + \frac{b}{x - a} ((x - a) (x - b)) = 2 ((x - b) (x - a))$

Passaggio 2.2.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$a x - a^{2} + b (x - b) = 2 ((x - b) (x - a))$

Passaggio 2.2.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$a x - a^{2} + b x + b (- b) = 2 ((x - b) (x - a))$

Passaggio 2.2.1.7

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$a x - a^{2} + b x - b \cdot b = 2 ((x - b) (x - a))$

Passaggio 2.2.1.8

Moltiplica $b$ per $b$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.8.1

Sposta $b$ .

$a x - a^{2} + b x - (b \cdot b) = 2 ((x - b) (x - a))$

Passaggio 2.2.1.8.2

Moltiplica $b$ per $b$ .

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 ((x - b) (x - a))$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Espandi $(x - b) (x - a)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x (x - a) - b (x - a))$

Passaggio 2.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x \cdot x + x (- a) - b (x - a))$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x \cdot x + x (- a) - b x - b (- a))$

Passaggio 2.3.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x^{2} + x (- a) - b x - b (- a))$

Passaggio 2.3.2.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x^{2} - x a - b x - b (- a))$

Passaggio 2.3.2.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x^{2} - x a - b x - 1 \cdot - 1 b a)$

Passaggio 2.3.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x^{2} - x a - b x + 1 b a)$

Passaggio 2.3.2.1.5

Moltiplica $b$ per $1$ .

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x^{2} - x a - b x + b a)$

Passaggio 2.3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 x^{2} + 2 (- x a) + 2 (- b x) + 2 (b a)$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 x^{2} - 2 (x a) + 2 (- b x) + 2 (b a)$

Passaggio 2.3.3.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 x^{2} - 2 (x a) - 2 (b x) + 2 b a$

Passaggio 2.3.4

Rimuovi le parentesi.

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 x^{2} - 2 x a - 2 b x + 2 b a$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini contenenti $a$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Somma $2 x a$ a entrambi i lati dell'equazione.

$a x - a^{2} + b x - b^{2} + 2 x a = 2 x^{2} - 2 b x + 2 b a$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $2 b a$ da entrambi i lati dell'equazione.

$a x - a^{2} + b x - b^{2} + 2 x a - 2 b a = 2 x^{2} - 2 b x$

Passaggio 3.1.3

Somma $a x$ e $2 x a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Sposta $x$ .

$- a^{2} + b x - b^{2} + a x + 2 a x - 2 b a = 2 x^{2} - 2 b x$

Passaggio 3.1.3.2

Somma $a x$ e $2 a x$ .

$- a^{2} + b x - b^{2} + 3 a x - 2 b a = 2 x^{2} - 2 b x$

Passaggio 3.2

Sposta tutti i termini sul lato sinistro dell'equazione e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Sottrai $2 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- a^{2} + b x - b^{2} + 3 a x - 2 b a - 2 x^{2} = - 2 b x$

Passaggio 3.2.1.2

Somma $2 b x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- a^{2} + b x - b^{2} + 3 a x - 2 b a - 2 x^{2} + 2 b x = 0$

Passaggio 3.2.2

Somma $b x$ e $2 b x$ .

$- a^{2} - b^{2} + 3 a x - 2 b a - 2 x^{2} + 3 b x = 0$

Passaggio 3.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.4

Sostituisci i valori $a = - 1$ , $b = 3 x - 2 b$ e $c = - b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x$ nella formula quadratica e risolvi per $a$ .

$\frac{- (3 x - 2 b) \pm \sqrt{{(3 x - 2 b)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x))}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$a = \frac{- (3 x) - (- 2 b) \pm \sqrt{{(3 x - 2 b)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$a = \frac{- 3 x - (- 2 b) \pm \sqrt{{(3 x - 2 b)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{{(3 x - 2 b)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.4

Riscrivi ${(3 x - 2 b)}^{2}$ come $(3 x - 2 b) (3 x - 2 b)$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{(3 x - 2 b) (3 x - 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.5

Espandi $(3 x - 2 b) (3 x - 2 b)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{3 x (3 x - 2 b) - 2 b (3 x - 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{3 x (3 x) + 3 x (- 2 b) - 2 b (3 x - 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{3 x (3 x) + 3 x (- 2 b) - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.6.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{3 \cdot (3 x \cdot x) + 3 x (- 2 b) - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.6.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.6.1.2.1

Sposta $x$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{3 \cdot (3 (x \cdot x)) + 3 x (- 2 b) - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.6.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{3 \cdot (3 x^{2}) + 3 x (- 2 b) - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.6.1.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 x (- 2 b) - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.6.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 \cdot (- 2 x b) - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.6.1.5

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.6.1.6

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 2 \cdot (3 b x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.6.1.7

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 6 b x - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.6.1.8

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 6 b x - 2 \cdot (- 2 b \cdot b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.6.1.9

Moltiplica $b$ per $b$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.6.1.9.1

Sposta $b$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 6 b x - 2 \cdot (- 2 (b \cdot b)) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.6.1.9.2

Moltiplica $b$ per $b$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 6 b x - 2 \cdot (- 2 b^{2}) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.6.1.10

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 6 b x + 4 b^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.6.2

Sottrai $6 b x$ da $- 6 x b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.6.2.1

Sposta $x$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 b x - 6 b x + 4 b^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.6.2.2

Sottrai $6 b x$ da $- 6 b x$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 12 b x + 4 b^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.7

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 12 b x + 4 b^{2} + 4 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.8

Applica la proprietà distributiva.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 12 b x + 4 b^{2} + 4 (- b^{2}) + 4 (- 2 x^{2}) + 4 (3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.9.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 12 b x + 4 b^{2} - 4 b^{2} + 4 (- 2 x^{2}) + 4 (3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.9.2

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 12 b x + 4 b^{2} - 4 b^{2} - 8 x^{2} + 4 (3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.9.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 12 b x + 4 b^{2} - 4 b^{2} - 8 x^{2} + 12 (b x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.10

Sottrai $8 x^{2}$ da $9 x^{2}$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{- 12 b x + 4 b^{2} - 4 b^{2} + x^{2} + 12 b x}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.11

Somma $- 12 b x$ e $12 b x$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{4 b^{2} - 4 b^{2} + x^{2} + 0}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.12

Somma $4 b^{2} - 4 b^{2} + x^{2}$ e $0$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{4 b^{2} - 4 b^{2} + x^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.13

Sottrai $4 b^{2}$ da $4 b^{2}$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{0 + x^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.14

Somma $0$ e $x^{2}$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{x^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.15

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm x}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm x}{- 2}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica $\frac{- 3 x + 2 b \pm x}{- 2}$ .

$a = \frac{3 x - 2 b \pm x}{2}$

Passaggio 3.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$a = - b + 2 x$

$a = - b + x$

$a = - b + 2 x$

$a = - b + x$