Matematica discreta Esempi

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + 98.6 > 100$

Passaggio 1

Sottrai $100$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + 98.6 - 100 > 0$

Passaggio 2

Semplifica $\frac{5 t}{t^{2} + 1} + 98.6 - 100$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Scrivi $98.6$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + \frac{98.6}{1} - 100 > 0$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $\frac{98.6}{1}$ per $\frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1}$ .

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + \frac{98.6}{1} \cdot \frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1} - 100 > 0$

Passaggio 2.1.3

Moltiplica $\frac{98.6}{1}$ per $\frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1}$ .

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + \frac{98.6 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} - 100 > 0$

Passaggio 2.1.4

Scrivi $- 100$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + \frac{98.6 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} + \frac{- 100}{1} > 0$

Passaggio 2.1.5

Moltiplica $\frac{- 100}{1}$ per $\frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1}$ .

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + \frac{98.6 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} + \frac{- 100}{1} \cdot \frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1} > 0$

Passaggio 2.1.6

Moltiplica $\frac{- 100}{1}$ per $\frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1}$ .

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + \frac{98.6 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} + \frac{- 100 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} > 0$

Passaggio 2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{5 t + 98.6 (t^{2} + 1) - 100 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} > 0$

Passaggio 2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 t + 98.6 t^{2} + 98.6 \cdot 1 - 100 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} > 0$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $98.6$ per $1$ .

$\frac{5 t + 98.6 t^{2} + 98.6 - 100 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} > 0$

Passaggio 2.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 t + 98.6 t^{2} + 98.6 - 100 t^{2} - 100 \cdot 1}{t^{2} + 1} > 0$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $- 100$ per $1$ .

$\frac{5 t + 98.6 t^{2} + 98.6 - 100 t^{2} - 100}{t^{2} + 1} > 0$

Passaggio 2.4

Sottrai $100 t^{2}$ da $98.6 t^{2}$ .

$\frac{5 t - 1.4 t^{2} + 98.6 - 100}{t^{2} + 1} > 0$

Passaggio 2.5

Sottrai $100$ da $98.6$ .

$\frac{5 t - 1.4 t^{2} - 1.4}{t^{2} + 1} > 0$

Passaggio 2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Scomponi $0.2$ da $5 t - 1.4 t^{2} - 1.4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1

Scomponi $0.2$ da $5 t$ .

$\frac{0.2 (25 t) - 1.4 t^{2} - 1.4}{t^{2} + 1} > 0$

Passaggio 2.6.1.2

Scomponi $0.2$ da $- 1.4 t^{2}$ .

$\frac{0.2 (25 t) + 0.2 (- 7 t^{2}) - 1.4}{t^{2} + 1} > 0$

Passaggio 2.6.1.3

Scomponi $0.2$ da $- 1.4$ .

$\frac{0.2 (25 t) + 0.2 (- 7 t^{2}) + 0.2 (- 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Passaggio 2.6.1.4

Scomponi $0.2$ da $0.2 (25 t) + 0.2 (- 7 t^{2})$ .

$\frac{0.2 (25 t - 7 t^{2}) + 0.2 (- 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Passaggio 2.6.1.5

Scomponi $0.2$ da $0.2 (25 t - 7 t^{2}) + 0.2 (- 7)$ .

$\frac{0.2 (25 t - 7 t^{2} - 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Passaggio 2.6.2

Riordina i termini.

$\frac{0.2 (- 7 t^{2} + 25 t - 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Passaggio 2.7

Scomponi $- 1$ da $- 7 t^{2}$ .

$\frac{0.2 (- (7 t^{2}) + 25 t - 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Passaggio 2.8

Scomponi $- 1$ da $25 t$ .

$\frac{0.2 (- (7 t^{2}) - (- 25 t) - 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Passaggio 2.9

Scomponi $- 1$ da $- (7 t^{2}) - (- 25 t)$ .

$\frac{0.2 (- (7 t^{2} - 25 t) - 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Passaggio 2.10

Riscrivi $- 7$ come $- 1 (7)$ .

$\frac{0.2 (- (7 t^{2} - 25 t) - 1 (7))}{t^{2} + 1} > 0$

Passaggio 2.11

Scomponi $- 1$ da $- (7 t^{2} - 25 t) - 1 (7)$ .

$\frac{0.2 (- (7 t^{2} - 25 t + 7))}{t^{2} + 1} > 0$

Passaggio 2.12

Riscrivi $- (7 t^{2} - 25 t + 7)$ come $- 1 (7 t^{2} - 25 t + 7)$ .

$\frac{0.2 (- 1 (7 t^{2} - 25 t + 7))}{t^{2} + 1} > 0$

Passaggio 2.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{0.2 (7 t^{2} - 25 t + 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Passaggio 3

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$7 t^{2} - 25 t + 7 = 0$

$t^{2} + 1 = 0$

Passaggio 4

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 5

Sostituisci i valori $a = 7$ , $b = - 25$ e $c = 7$ nella formula quadratica e risolvi per $t$ .

$\frac{25 \pm \sqrt{{(- 25)}^{2} - 4 \cdot (7 \cdot 7)}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Eleva $- 25$ alla potenza di $2$ .

$t = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 4 \cdot 7 \cdot 7}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 7 \cdot 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $7$ .

$t = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 28 \cdot 7}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 6.1.2.2

Moltiplica $- 28$ per $7$ .

$t = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 196}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 6.1.3

Sottrai $196$ da $625$ .

$t = \frac{25 \pm \sqrt{429}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 6.2

Moltiplica $2$ per $7$ .

$t = \frac{25 \pm \sqrt{429}}{14}$

Passaggio 7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$t = \frac{25 + \sqrt{429}}{14}, \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$

Passaggio 8

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$t^{2} = - 1$

Passaggio 9

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{- 1}$

Passaggio 10

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$t = \pm i$

Passaggio 11

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 11.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$t = i$

Passaggio 11.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$t = - i$

Passaggio 11.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$t = i, - i$

Passaggio 12

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$t = \frac{25 + \sqrt{429}}{14}, \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$

$t = i, - i$

Passaggio 13

Consolida le soluzioni.

$t = \frac{25 + \sqrt{429}}{14}, \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$

Passaggio 14

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$t < \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$

$\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$

$t > \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$

Passaggio 15

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 15.1

Testa un valore sull'intervallo $t < \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 15.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $t < \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$t = 0$

Passaggio 15.1.2

Sostituisci $t$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{5 (0)}{{(0)}^{2} + 1} + 98.6 > 100$

Passaggio 15.1.3

Il lato sinistro di $98.6$ non è maggiore del lato destro di $100$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 15.2

Testa un valore sull'intervallo $\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$t = 2$

Passaggio 15.2.2

Sostituisci $t$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{5 (2)}{{(2)}^{2} + 1} + 98.6 > 100$

Passaggio 15.2.3

Il lato sinistro di $100.6$ è maggiore del lato destro di $100$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 15.3

Testa un valore sull'intervallo $t > \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 15.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $t > \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$t = 6$

Passaggio 15.3.2

Sostituisci $t$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{5 (6)}{{(6)}^{2} + 1} + 98.6 > 100$

Passaggio 15.3.3

Il lato sinistro di $99.4\overline{108}$ non è maggiore del lato destro di $100$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 15.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$t < \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$ Falso

$\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ Vero

$t > \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ Falso

$t < \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$ Falso

$\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ Vero

$t > \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ Falso

Passaggio 16

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$

Passaggio 17

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$

Notazione degli intervalli:

$(\frac{25 - \sqrt{429}}{14}, \frac{25 + \sqrt{429}}{14})$

Passaggio 18