Matematica discreta Esempi

$- \frac{x^{4} - x^{2} - 5}{x^{2} + 6} < 0$

Passaggio 1

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x^{4} - x^{2} - 5 = 0$

$x^{2} + 6 = 0$

Passaggio 2

Sostituisci $u = x^{2}$ nell'equazione. In questo modo la formula quadratica sarà più facile da usare.

$u^{2} - u - 5 = 0$

$u = x^{2}$

Passaggio 3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 1$ e $c = - 5$ nella formula quadratica e risolvi per $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Passaggio 5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 5$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 20}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.3

Somma $1$ e $20$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$

Passaggio 6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$u = \frac{1 + \sqrt{21}}{2}, \frac{1 - \sqrt{21}}{2}$

Passaggio 7

Sostituisci nuovamente il valore reale di $u = x^{2}$ nell'equazione risolta.

$x^{2} = 2.79128784$

${(x^{2})}^{1} = - 1.79128784$

Passaggio 8

Risolvi la prima equazione per $x$ .

$x^{2} = 2.79128784$

Passaggio 9

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2.79128784}$

Passaggio 9.2

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 9.2.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{2.79128784}$

Passaggio 9.2.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{2.79128784}$

Passaggio 9.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{2.79128784}, - \sqrt{2.79128784}$

Passaggio 10

Risolvi la seconda equazione per $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 1.79128784$

Passaggio 11

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 11.1

Rimuovi le parentesi.

$x^{2} = - 1.79128784$

Passaggio 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1.79128784}$

Passaggio 11.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 1.79128784}$ .

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Passaggio 11.3.1

Riscrivi $- 1.79128784$ come $- 1 (1.79128784)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (1.79128784)}$

Passaggio 11.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (1.79128784)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.79128784}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.79128784}$

Passaggio 11.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \sqrt{1.79128784}$

Passaggio 11.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 11.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i \sqrt{1.79128784}$

Passaggio 11.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i \sqrt{1.79128784}$

Passaggio 11.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i \sqrt{1.79128784}, - i \sqrt{1.79128784}$

Passaggio 12

La soluzione di $x^{4} - x^{2} - 5 = 0$ è $x = \sqrt{2.79128784}, - \sqrt{2.79128784}, i \sqrt{1.79128784}, - i \sqrt{1.79128784}$ .

$x = \sqrt{2.79128784}, - \sqrt{2.79128784}, i \sqrt{1.79128784}, - i \sqrt{1.79128784}$

Passaggio 13

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 6$

Passaggio 14

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 6}$

Passaggio 15

Semplifica $\pm \sqrt{- 6}$ .

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Passaggio 15.1

Riscrivi $- 6$ come $- 1 (6)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (6)}$

Passaggio 15.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (6)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

Passaggio 15.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \sqrt{6}$

Passaggio 16

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 16.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i \sqrt{6}$

Passaggio 16.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i \sqrt{6}$

Passaggio 16.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

Passaggio 17

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = \sqrt{2.79128784}, - \sqrt{2.79128784}$

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

Passaggio 18

Consolida le soluzioni.

$x = \sqrt{2.79128784}, - \sqrt{2.79128784}$

Passaggio 19

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - \sqrt{2.79128784}$

$- \sqrt{2.79128784} < x < \sqrt{2.79128784}$

$x > \sqrt{2.79128784}$

Passaggio 20

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 20.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - \sqrt{2.79128784}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 20.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - \sqrt{2.79128784}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 20.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$- \frac{{(- 4)}^{4} - {(- 4)}^{2} - 5}{{(- 4)}^{2} + 6} < 0$

Passaggio 20.1.3

Il lato sinistro di $- 10.6\overline{81}$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 20.2

Testa un valore sull'intervallo $- \sqrt{2.79128784} < x < \sqrt{2.79128784}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 20.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- \sqrt{2.79128784} < x < \sqrt{2.79128784}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 20.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$- \frac{{(0)}^{4} - {(0)}^{2} - 5}{{(0)}^{2} + 6} < 0$

Passaggio 20.2.3

Il lato sinistro di $0.8\overline{3}$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 20.3

Testa un valore sull'intervallo $x > \sqrt{2.79128784}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 20.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > \sqrt{2.79128784}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 20.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$- \frac{{(4)}^{4} - {(4)}^{2} - 5}{{(4)}^{2} + 6} < 0$

Passaggio 20.3.3

Il lato sinistro di $- 10.6\overline{81}$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 20.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - \sqrt{2.79128784}$ Vero

$- \sqrt{2.79128784} < x < \sqrt{2.79128784}$ Falso

$x > \sqrt{2.79128784}$ Vero

$x < - \sqrt{2.79128784}$ Vero

$- \sqrt{2.79128784} < x < \sqrt{2.79128784}$ Falso

$x > \sqrt{2.79128784}$ Vero

Passaggio 21

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - \sqrt{2.79128784}$ o $x > \sqrt{2.79128784}$

Passaggio 22

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$x < - \sqrt{2.79128784} or x > \sqrt{2.79128784}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - \sqrt{2.79128784}) \cup (\sqrt{2.79128784}, \infty)$

Passaggio 23