Matematica discreta Esempi

$\sqrt{\sin (x)} = \sqrt{\cos (2 x)}$

Passaggio 1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{\sin (x)}}^{2} = {\sqrt{\cos (2 x)}}^{2}$

Passaggio 2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{\sin (x)}$ come ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt{\cos (2 x)}}^{2}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ${({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\sin (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{\cos (2 x)}}^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${\sin (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{\cos (2 x)}}^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin^{1} (x) = {\sqrt{\cos (2 x)}}^{2}$

Passaggio 2.2.1.2

Semplifica.

$\sin (x) = {\sqrt{\cos (2 x)}}^{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Riscrivi ${\sqrt{\cos (2 x)}}^{2}$ come $\cos (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{\cos (2 x)}$ come ${\cos (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = {({\cos (2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 2.3.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = {\cos (2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 2.3.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sin (x) = {\cos (2 x)}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 2.3.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sin (x) = {\cos (2 x)}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 2.3.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (x) = \cos^{1} (2 x)$

Passaggio 2.3.1.5

Semplifica.

$\sin (x) = \cos (2 x)$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sottrai $\cos (2 x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sin (x) - \cos (2 x) = 0$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Utilizza l'identità a doppio angolo per trasformare $\cos (2 x)$ in $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$\sin (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (x) - 1 \cdot 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\sin (x) - 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\sin (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 3.3

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riordina i termini.

$2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 1 = 0$

Passaggio 3.3.2

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e la cui somma è $b = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica per $1$ .

$2 \sin^{2} (x) + 1 \sin (x) - 1 = 0$

Passaggio 3.3.2.2

Riscrivi $1$ come $- 1$ più $2$ .

$2 \sin^{2} (x) + (- 1 + 2) \sin (x) - 1 = 0$

Passaggio 3.3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 \sin^{2} (x) - 1 \sin (x) + 2 \sin (x) - 1 = 0$

Passaggio 3.3.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$2 \sin^{2} (x) - 1 \sin (x) + 2 \sin (x) - 1 = 0$

Passaggio 3.3.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\sin (x) (2 \sin (x) - 1) + 1 (2 \sin (x) - 1) = 0$

Passaggio 3.3.4

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 \sin (x) - 1$ .

$(2 \sin (x) - 1) (\sin (x) + 1) = 0$

Passaggio 3.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 \sin (x) - 1 = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

Passaggio 3.5

Imposta $2 \sin (x) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $2 \sin (x) - 1$ uguale a $0$ .

$2 \sin (x) - 1 = 0$

Passaggio 3.5.2

Risolvi $2 \sin (x) - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 \sin (x) = 1$

Passaggio 3.5.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \sin (x) = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \sin (x) = 1$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.5.2.2.2.1.2

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.5.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Passaggio 3.5.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.4.1

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Passaggio 3.5.2.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Passaggio 3.5.2.6

Semplifica $π - \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.6.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 3.5.2.6.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.6.2.1

$π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 3.5.2.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 3.5.2.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.6.3.1

Sposta $6$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Passaggio 3.5.2.6.3.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Passaggio 3.5.2.7

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.5.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.5.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.5.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.5.2.8

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.6

Imposta $\sin (x) + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Imposta $\sin (x) + 1$ uguale a $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Passaggio 3.6.2

Risolvi $\sin (x) + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sin (x) = - 1$

Passaggio 3.6.2.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (- 1)$

Passaggio 3.6.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.3.1

Il valore esatto di $\arcsin (- 1)$ è $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.6.2.4

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Passaggio 3.6.2.5

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.5.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Passaggio 3.6.2.5.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{2}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 3.6.2.6

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.6.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.6.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.6.2.6.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.6.2.7

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.7.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{2}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Passaggio 3.6.2.7.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.6.2.7.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.7.3.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.6.2.7.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 3.6.2.7.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.7.4.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 3.6.2.7.4.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Passaggio 3.6.2.7.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 3.6.2.8

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 \sin (x) - 1) (\sin (x) + 1) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

Verifica ciascuna delle soluzioni sostituendole in $\sqrt{\sin (x)} = \sqrt{\cos (2 x)}$ e risolvendo.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$