Matematica discreta Esempi

$\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} > 1$

Passaggio 1

Sottrai $1$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} - 1 > 0$

Passaggio 2

Semplifica $\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$ .

$\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} - 1 \cdot \frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1} > 0$

Passaggio 2.2

$- 1$ e $\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$ .

$\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} + \frac{- (\sin (x) + 1)}{\sin (x) + 1} > 0$

Passaggio 2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sin (x) - (\sin (x) + 1)}{\sin (x) + 1} > 0$

Passaggio 2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin (x) - \sin (x) - 1 \cdot 1}{\sin (x) + 1} > 0$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\sin (x) - \sin (x) - 1}{\sin (x) + 1} > 0$

Passaggio 2.4.3

Sottrai $\sin (x)$ da $\sin (x)$ .

$\frac{0 - 1}{\sin (x) + 1} > 0$

Passaggio 2.4.4

Sottrai $1$ da $0$ .

$\frac{- 1}{\sin (x) + 1} > 0$

Passaggio 2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{\sin (x) + 1} > 0$

Passaggio 3

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$\sin (x) + 1 = 0$

Passaggio 4

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sin (x) = - 1$

Passaggio 5

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (- 1)$

Passaggio 6

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il valore esatto di $\arcsin (- 1)$ è $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Passaggio 7

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Passaggio 8

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Passaggio 8.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{2}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 9

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 9.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 9.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 9.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 10

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{2}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Passaggio 10.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 10.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 10.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 10.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 10.4.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Passaggio 10.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 11

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 12

Consolida le risposte.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 13

Trova il dominio di $\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Imposta il denominatore in $\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sin (x) + 1 = 0$

Passaggio 13.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sin (x) = - 1$

Passaggio 13.2.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (- 1)$

Passaggio 13.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.3.1

Il valore esatto di $\arcsin (- 1)$ è $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Passaggio 13.2.4

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Passaggio 13.2.5

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.5.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Passaggio 13.2.5.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{2}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 13.2.6

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 13.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 13.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 13.2.6.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 13.2.7

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.7.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{2}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Passaggio 13.2.7.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 13.2.7.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.7.3.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 13.2.7.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 13.2.7.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.7.4.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 13.2.7.4.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Passaggio 13.2.7.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 13.2.8

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 13.2.9

Consolida le risposte.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 13.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

${x | x \neq \frac{3 π}{2} + 2 π n}$ $n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 14

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$

Passaggio 15

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 15.1

Testa un valore sull'intervallo $\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 15.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 8$

Passaggio 15.1.2

Sostituisci $x$ con $8$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{\sin (8)}{\sin (8) + 1} > 1$

Passaggio 15.1.3

Il lato sinistro di $0.49732533$ non è maggiore del lato destro di $1$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 15.2

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ Falso

Passaggio 16

Poiché nessun numero rientra nell'intervallo, questa diseguaglianza non ha soluzione.

Nessuna soluzione