Matematica discreta Esempi

$\log_{9} (7) + \log_{9} (3 x^{2} \cdot 9) = 2$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{9} (7 (3 x^{2} \cdot 9)) = 2$

Passaggio 1.2

Moltiplica $9$ per $3$ .

$\log_{9} (7 (27 x^{2})) = 2$

Passaggio 1.3

Moltiplica $27$ per $7$ .

$\log_{9} (189 x^{2}) = 2$

Passaggio 2

Riscrivi $\log_{9} (189 x^{2}) = 2$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$9^{2} = 189 x^{2}$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $189 x^{2} = 9^{2}$ .

$189 x^{2} = 9^{2}$

Passaggio 3.2

Dividi per $189$ ciascun termine in $189 x^{2} = 9^{2}$ e semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Dividi per $189$ ciascun termine in $189 x^{2} = 9^{2}$ .

$\frac{189 x^{2}}{189} = \frac{9^{2}}{189}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $189$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{189 x^{2}}{189} = \frac{9^{2}}{189}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{9^{2}}{189}$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.3.1

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$x^{2} = \frac{81}{189}$

Passaggio 3.2.3.2

Elimina il fattore comune di $81$ e $189$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.2.1

Scomponi $27$ da $81$ .

$x^{2} = \frac{27 (3)}{189}$

Passaggio 3.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.2.2.1

Scomponi $27$ da $189$ .

$x^{2} = \frac{27 \cdot 3}{27 \cdot 7}$

Passaggio 3.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} = \frac{27 \cdot 3}{27 \cdot 7}$

Passaggio 3.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} = \frac{3}{7}$

Passaggio 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{3}{7}}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{3}{7}}$ .

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Passaggio 3.4.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{3}{7}}$ come $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ per $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Passaggio 3.4.3

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.4.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ per $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Passaggio 3.4.3.2

Eleva $\sqrt{7}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Passaggio 3.4.3.3

Eleva $\sqrt{7}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Passaggio 3.4.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.4.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Passaggio 3.4.3.6

Riscrivi ${\sqrt{7}}^{2}$ come $7$ .

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Passaggio 3.4.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{7}$ come $7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.4.3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.4.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.4.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.4.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.4.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7^{1}}$

Passaggio 3.4.3.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7}$

Passaggio 3.4.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.4.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 \cdot 7}}{7}$

Passaggio 3.4.4.2

Moltiplica $3$ per $7$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{21}}{7}$

Passaggio 3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{\sqrt{21}}{7}$

Passaggio 3.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{\sqrt{21}}{7}$

Passaggio 3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{\sqrt{21}}{7}, - \frac{\sqrt{21}}{7}$

Passaggio 4

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \frac{\sqrt{21}}{7}, - \frac{\sqrt{21}}{7}$

Forma decimale:

$x = 0.65465367 \dots, - 0.65465367 \dots$