Matematica discreta Esempi

$\log_{5} (x - 1) + \log_{5} (x + 119) = 4$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} ((x - 1) (x + 119)) = 4$

Passaggio 1.2

Espandi $(x - 1) (x + 119)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{5} (x (x + 119) - 1 (x + 119)) = 4$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot 119 - 1 (x + 119)) = 4$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot 119 - 1 x - 1 \cdot 119) = 4$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\log_{5} (x^{2} + x \cdot 119 - 1 x - 1 \cdot 119) = 4$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta $119$ alla sinistra di $x$ .

$\log_{5} (x^{2} + 119 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 119) = 4$

Passaggio 1.3.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\log_{5} (x^{2} + 119 x - x - 1 \cdot 119) = 4$

Passaggio 1.3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $119$ .

$\log_{5} (x^{2} + 119 x - x - 119) = 4$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $x$ da $119 x$ .

$\log_{5} (x^{2} + 118 x - 119) = 4$

Passaggio 2

Riscrivi $\log_{5} (x^{2} + 118 x - 119) = 4$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{4} = x^{2} + 118 x - 119$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $x^{2} + 118 x - 119 = 5^{4}$ .

$x^{2} + 118 x - 119 = 5^{4}$

Passaggio 3.2

Eleva $5$ alla potenza di $4$ .

$x^{2} + 118 x - 119 = 625$

Passaggio 3.3

Sottrai $625$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + 118 x - 119 - 625 = 0$

Passaggio 3.4

Sottrai $625$ da $- 119$ .

$x^{2} + 118 x - 744 = 0$

Passaggio 3.5

Scomponi $x^{2} + 118 x - 744$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 744$ e la cui somma è $118$ .

$- 6, 124$

Passaggio 3.5.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 6) (x + 124) = 0$

Passaggio 3.6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 124 = 0$

Passaggio 3.7

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

Passaggio 3.7.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6$

Passaggio 3.8

Imposta $x + 124$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Imposta $x + 124$ uguale a $0$ .

$x + 124 = 0$

Passaggio 3.8.2

Sottrai $124$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 124$

Passaggio 3.9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 6) (x + 124) = 0$ vera.

$x = 6, - 124$

Passaggio 4

Escludi le soluzioni che non rendono $\log_{5} (x - 1) + \log_{5} (x + 119) = 4$ vera.

$x = 6$