Matematica discreta Esempi

$\log (x^{2} - 1) - \log (x - 1) = 1$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = 1$

Passaggio 1.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\log (\frac{x^{2} - 1^{2}}{x - 1}) = 1$

Passaggio 1.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\log (\frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1}) = 1$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

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Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\log (\frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1}) = 1$

Passaggio 1.3.2

Dividi $x + 1$ per $1$ .

$\log (x + 1) = 1$

Passaggio 2

Riscrivi $\log (x + 1) = 1$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{1} = x + 1$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $x + 1 = 10^{1}$ .

$x + 1 = 10$

Passaggio 3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = 10 - 1$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $1$ da $10$ .

$x = 9$