Matematica discreta Esempi

$4 x^{2} + 4 x - 1 > 0$

Passaggio 1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$4 x^{2} + 4 x - 1 = 0$

Passaggio 2

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori $a = 4$ , $b = 4$ e $c = - 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

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Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $- 16$ per $- 1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 4.1.3

Somma $16$ e $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 4.1.4

Riscrivi $32$ come $4^{2} \cdot 2$ .

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Passaggio 4.1.4.1

Scomponi $16$ da $32$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 4.1.4.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 4.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 4.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 5

Consolida le soluzioni.

$x = - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 6

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

$- \frac{1 + \sqrt{2}}{2} < x < - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

$x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 7

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 7.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 7.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 7.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$4 {(- 4)}^{2} + 4 (- 4) - 1 > 0$

Passaggio 7.1.3

Il lato sinistro di $47$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 7.2

Testa un valore sull'intervallo $- \frac{1 + \sqrt{2}}{2} < x < - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 7.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- \frac{1 + \sqrt{2}}{2} < x < - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 7.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$4 {(0)}^{2} + 4 (0) - 1 > 0$

Passaggio 7.2.3

Il lato sinistro di $- 1$ non è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 7.3

Testa un valore sull'intervallo $x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 7.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 3$

Passaggio 7.3.2

Sostituisci $x$ con $3$ nella diseguaglianza originale.

$4 {(3)}^{2} + 4 (3) - 1 > 0$

Passaggio 7.3.3

Il lato sinistro di $47$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 7.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ Vero

$- \frac{1 + \sqrt{2}}{2} < x < - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ Falso

$x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ Vero

$x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ Vero

$- \frac{1 + \sqrt{2}}{2} < x < - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ Falso

$x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ Vero

Passaggio 8

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ o $x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2} or x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}) \cup (- \frac{1 - \sqrt{2}}{2}, \infty)$

Passaggio 10