Matematica discreta Esempi

$4^{x} + 7 \cdot 2^{x} = 44$

Passaggio 1

Sottrai $44$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4^{x} + 7 \cdot 2^{x} - 44 = 0$

Passaggio 2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $4^{x}$ come ${(2^{2})}^{x}$ .

${(2^{2})}^{x} + 7 \cdot 2^{x} - 44 = 0$

Passaggio 2.2

Riscrivi ${(2^{2})}^{x}$ come ${(2^{x})}^{2}$ .

${(2^{x})}^{2} + 7 \cdot 2^{x} - 44 = 0$

Passaggio 2.3

Sia $u = 2^{x}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $2^{x}$ con $u$ .

$u^{2} + 7 u - 44 = 0$

Passaggio 2.4

Scomponi $u^{2} + 7 u - 44$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 44$ e la cui somma è $7$ .

$- 4, 11$

Passaggio 2.4.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(u - 4) (u + 11) = 0$

Passaggio 2.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2^{x}$ .

$(2^{x} - 4) (2^{x} + 11) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2^{x} - 4 = 0$

$2^{x} + 11 = 0$

Passaggio 4

Imposta $2^{x} - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $2^{x} - 4$ uguale a $0$ .

$2^{x} - 4 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $2^{x} - 4 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2^{x} = 4$

Passaggio 4.2.2

Crea nell'equazione espressioni equivalenti che hanno tutte basi uguali.

$2^{x} = 2^{2}$

Passaggio 4.2.3

Poiché le basi sono uguali, allora due espressioni sono uguali solo se anche gli esponenti sono uguali.

$x = 2$

Passaggio 5

Imposta $2^{x} + 11$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $2^{x} + 11$ uguale a $0$ .

$2^{x} + 11 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $2^{x} + 11 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 5.2.1

Sottrai $11$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2^{x} = - 11$

Passaggio 5.2.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (2^{x}) = \ln (- 11)$

Passaggio 5.2.3

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (- 11)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 5.2.4

Non c'è soluzione per $2^{x} = - 11$

Nessuna soluzione

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2^{x} - 4) (2^{x} + 11) = 0$ vera.

$x = 2$