Matematica discreta Esempi

$\sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9} = y$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come $y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}$ .

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}$

Passaggio 2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 3^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 3

Imposta il radicando in $\sqrt{4 - x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$4 - x \geq 0$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x \geq - 4$

Passaggio 4.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq - 4$ e semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq - 4$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 4.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Dividi $- 4$ per $- 1$ .

$x \leq 4$

Passaggio 5

Imposta il radicando in $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$(x + 3) (x - 3) \geq 0$

Passaggio 6

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 6.2

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.2.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 6.3

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 6.3.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 6.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 3) (x - 3) \geq 0$ vera.

$x = - 3, 3$

Passaggio 6.5

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$x > 3$

Passaggio 6.6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 6.6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 6.6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

$((- 6) + 3) ((- 6) - 3) \geq 0$

Passaggio 6.6.1.3

Il lato sinistro di $27$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 6.6.2

Testa un valore sull'intervallo $- 3 < x < 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 3 < x < 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 6.6.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$((0) + 3) ((0) - 3) \geq 0$

Passaggio 6.6.2.3

Il lato sinistro di $- 9$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 6.6.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 6.6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 6.6.3.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$((6) + 3) ((6) - 3) \geq 0$

Passaggio 6.6.3.3

Il lato sinistro di $27$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 6.6.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 3$ Vero

$- 3 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Vero

$x < - 3$ Vero

$- 3 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Vero

Passaggio 6.7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq - 3$ o $x \geq 3$

Passaggio 7

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 3] \cup [3, 4]$

Notazione intensiva:

${x | x \leq - 3, 3 \leq x \leq 4}$

Passaggio 8

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Nessuna soluzione

Passaggio 9

Determina il dominio e l'intervallo.

Nessuna soluzione

Passaggio 10