Matematica discreta Esempi

\sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9} = y

$\sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9} = y$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come

y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}$ .

y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}$

Passaggio 2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi

9

$9$ come

3^{2}

$3^{2}$ .

y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 3^{2}}

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 3^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove

a = x

$a = x$ e

b = 3

$b = 3$ .

y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 3

Imposta il radicando in

\sqrt{4 - x}

$\sqrt{4 - x}$ in modo che sia maggiore o uguale a

0

$0$ per individuare dove l'espressione è definita.

4 - x \geq 0

$4 - x \geq 0$

Passaggio 4

Risolvi per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sottrai

4

$4$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

- x \geq - 4

$- x \geq - 4$

Passaggio 4.2

Dividi per

- 1

$- 1$ ciascun termine in

- x \geq - 4

$- x \geq - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Dividi per

- 1

$- 1$ ciascun termine in

- x \geq - 4

$- x \geq - 4$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 4.2.2.2

Dividi

x

$x$ per

1

$1$ .

x \leq \frac{- 4}{- 1}

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

x \leq \frac{- 4}{- 1}

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Dividi

- 4

$- 4$ per

- 1

$- 1$ .

x \leq 4

$x \leq 4$

x \leq 4

$x \leq 4$

x \leq 4

$x \leq 4$

x \leq 4

$x \leq 4$

Passaggio 5

Imposta il radicando in

\sqrt{(x + 3) (x - 3)}

$\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ in modo che sia maggiore o uguale a

0

$0$ per individuare dove l'espressione è definita.

(x + 3) (x - 3) \geq 0

$(x + 3) (x - 3) \geq 0$

Passaggio 6

Risolvi per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a

0

$0$ , l'intera espressione sarà uguale a

0

$0$ .

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

x - 3 = 0

$x - 3 = 0$

Passaggio 6.2

Imposta

x + 3

$x + 3$ uguale a

0

$0$ e risolvi per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Imposta

x + 3

$x + 3$ uguale a

0

$0$ .

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

Passaggio 6.2.2

Sottrai

3

$3$ da entrambi i lati dell'equazione.

x = - 3

$x = - 3$

x = - 3

$x = - 3$

Passaggio 6.3

Imposta

x - 3

$x - 3$ uguale a

0

$0$ e risolvi per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Imposta

x - 3

$x - 3$ uguale a

0

$0$ .

x - 3 = 0

$x - 3 = 0$

Passaggio 6.3.2

Somma

3

$3$ a entrambi i lati dell'equazione.

x = 3

$x = 3$

x = 3

$x = 3$

Passaggio 6.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono

(x + 3) (x - 3) \geq 0

$(x + 3) (x - 3) \geq 0$ vera.

x = - 3, 3

$x = - 3, 3$

Passaggio 6.5

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

x < - 3

$x < - 3$

- 3 < x < 3

$- 3 < x < 3$

x > 3

$x > 3$

Passaggio 6.6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Testa un valore sull'intervallo

x < - 3

$x < - 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo

x < - 3

$x < - 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

x = - 6

$x = - 6$

Passaggio 6.6.1.2

Sostituisci

x

$x$ con

- 6

$- 6$ nella diseguaglianza originale.

((- 6) + 3) ((- 6) - 3) \geq 0

$((- 6) + 3) ((- 6) - 3) \geq 0$

Passaggio 6.6.1.3

Il lato sinistro di

27

$27$ è maggiore del lato destro di

0

$0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 6.6.2

Testa un valore sull'intervallo

- 3 < x < 3

$- 3 < x < 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo

- 3 < x < 3

$- 3 < x < 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

x = 0

$x = 0$

Passaggio 6.6.2.2

Sostituisci

x

$x$ con

0

$0$ nella diseguaglianza originale.

((0) + 3) ((0) - 3) \geq 0

$((0) + 3) ((0) - 3) \geq 0$

Passaggio 6.6.2.3

Il lato sinistro di

- 9

$- 9$ è minore del lato destro di

0

$0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 6.6.3

Testa un valore sull'intervallo

x > 3

$x > 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo

x > 3

$x > 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

x = 6

$x = 6$

Passaggio 6.6.3.2

Sostituisci

x

$x$ con

6

$6$ nella diseguaglianza originale.

((6) + 3) ((6) - 3) \geq 0

$((6) + 3) ((6) - 3) \geq 0$

Passaggio 6.6.3.3

Il lato sinistro di

27

$27$ è maggiore del lato destro di

0

$0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 6.6.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

x < - 3

$x < - 3$ Vero

- 3 < x < 3

$- 3 < x < 3$ Falso

x > 3

$x > 3$ Vero

x < - 3

$x < - 3$ Vero

- 3 < x < 3

$- 3 < x < 3$ Falso

x > 3

$x > 3$ Vero

Passaggio 6.7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

x \leq - 3

$x \leq - 3$ o

x \geq 3

$x \geq 3$

x \leq - 3

$x \leq - 3$ o

x \geq 3

$x \geq 3$

Passaggio 7

Il dominio è formato da tutti i valori di

x

$x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

(- \infty, - 3] \cup [3, 4]

$(- \infty, - 3] \cup [3, 4]$

Notazione intensiva:

{x | x \leq - 3, 3 \leq x \leq 4}

${x | x \leq - 3, 3 \leq x \leq 4}$

Passaggio 8

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori

y

$y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Nessuna soluzione

Passaggio 9

Determina il dominio e l'intervallo.

Nessuna soluzione

Passaggio 10