Matematica discreta Esempi

$y = \sqrt{12 + x - x^{2}}$

Passaggio 1

Imposta il radicando in $\sqrt{12 + x - x^{2}}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$12 + x - x^{2} \geq 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$12 + x - x^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.2.1

Scomponi $- 1$ da $12 + x - x^{2}$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Riordina l'espressione.

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Passaggio 2.2.1.1.1

Sposta $12$ .

$x - x^{2} + 12 = 0$

Passaggio 2.2.1.1.2

Riordina $x$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + x + 12 = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + x + 12 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $- 1$ da $x$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 12 = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Riscrivi $12$ come $- 1 (- 12)$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 12 = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - 1 (- x)$ .

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 12 = 0$

Passaggio 2.2.1.6

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2} - x) - 1 (- 12)$ .

$- (x^{2} - x - 12) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi.

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Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $x^{2} - x - 12$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 12$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 4, 3$

Passaggio 2.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$- ((x - 4) (x + 3)) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (x - 4) (x + 3) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 2.5

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- (x - 4) (x + 3) = 0$ vera.

$x = 4, - 3$

Passaggio 2.7

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 3$

$- 3 < x < 4$

$x > 4$

Passaggio 2.8

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 2.8.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 2.8.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 2.8.1.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

$12 - 6 - {(- 6)}^{2} \geq 0$

Passaggio 2.8.1.3

Il lato sinistro di $- 30$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 2.8.2

Testa un valore sull'intervallo $- 3 < x < 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 2.8.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 3 < x < 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 2.8.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$12 + 0 - {(0)}^{2} \geq 0$

Passaggio 2.8.2.3

Il lato sinistro di $12$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 2.8.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 2.8.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 2.8.3.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$12 + 6 - {(6)}^{2} \geq 0$

Passaggio 2.8.3.3

Il lato sinistro di $- 18$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 2.8.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 4$ Vero

$x > 4$ Falso

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 4$ Vero

$x > 4$ Falso

Passaggio 2.9

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 3 \leq x \leq 4$

Passaggio 3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[- 3, 4]$

Notazione intensiva:

${x | - 3 \leq x \leq 4}$

Passaggio 4

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[0, \frac{7}{2}]$

Notazione intensiva:

${y | 0 \leq y \leq \frac{7}{2}}$

Passaggio 5

Determina il dominio e l'intervallo.

Dominio: $[- 3, 4], {x | - 3 \leq x \leq 4}$

Intervallo: $[0, \frac{7}{2}], {y | 0 \leq y \leq \frac{7}{2}}$

Passaggio 6