Matematica discreta Esempi

$x^{2} + y^{2} + 4 x - 4 y - 73 = 0$

Passaggio 1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 4$ e $c = x^{2} + 4 x - 73$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $- 4$ da ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Scomponi $- 4$ da ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.1.2

Scomponi $- 4$ da $- 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.1.3

Scomponi $- 4$ da $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica $x^{2} + 4 x - 73$ per $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.3

Sottrai $73$ da $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x^{2} + 4 x - 77)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.4

Scomponi $x^{2} + 4 x - 77$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 77$ e la cui somma è $4$ .

$- 7, 11$

Passaggio 3.1.4.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 ((x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.5

Riscrivi $- 4 (x - 7) (x + 11)$ come $2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.5.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.5.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.5.3

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 ((x - 7) (x + 11)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.5.4

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.6

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Scomponi $- 4$ da ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Scomponi $- 4$ da ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.1.2

Scomponi $- 4$ da $- 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.1.3

Scomponi $- 4$ da $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $x^{2} + 4 x - 73$ per $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.3

Sottrai $73$ da $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x^{2} + 4 x - 77)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.4

Scomponi $x^{2} + 4 x - 77$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 77$ e la cui somma è $4$ .

$- 7, 11$

Passaggio 4.1.4.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 ((x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.5

Riscrivi $- 4 (x - 7) (x + 11)$ come $2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.5.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.5.3

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 ((x - 7) (x + 11)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.5.4

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.6

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$

Passaggio 4.3

Semplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

Passaggio 4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$y = 2 + \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Scomponi $- 4$ da ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Scomponi $- 4$ da ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.1.2

Scomponi $- 4$ da $- 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.1.3

Scomponi $- 4$ da $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $x^{2} + 4 x - 73$ per $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.3

Sottrai $73$ da $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x^{2} + 4 x - 77)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.4

Scomponi $x^{2} + 4 x - 77$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 77$ e la cui somma è $4$ .

$- 7, 11$

Passaggio 5.1.4.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 ((x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.5

Riscrivi $- 4 (x - 7) (x + 11)$ come $2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.5.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.5.3

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 ((x - 7) (x + 11)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.5.4

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$

Passaggio 5.3

Semplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

Passaggio 5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$y = 2 - \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

Passaggio 6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

Passaggio 7

Imposta il radicando in $\sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$- 1 (x - 7) (x + 11) \geq 0$

Passaggio 8

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 11 = 0$

Passaggio 8.2

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ .

$x - 7 = 0$

Passaggio 8.2.2

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 7$

Passaggio 8.3

Imposta $x + 11$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Imposta $x + 11$ uguale a $0$ .

$x + 11 = 0$

Passaggio 8.3.2

Sottrai $11$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 11$

Passaggio 8.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 1 (x - 7) (x + 11) \geq 0$ vera.

$x = 7, - 11$

Passaggio 8.5

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 11$

$- 11 < x < 7$

$x > 7$

Passaggio 8.6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 11$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 11$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 14$

Passaggio 8.6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 14$ nella diseguaglianza originale.

$- 1 ((- 14) - 7) ((- 14) + 11) \geq 0$

Passaggio 8.6.1.3

Il lato sinistro di $- 63$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 8.6.2

Testa un valore sull'intervallo $- 11 < x < 7$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 11 < x < 7$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 8.6.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$- 1 ((0) - 7) ((0) + 11) \geq 0$

Passaggio 8.6.2.3

Il lato sinistro di $77$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 8.6.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 7$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 7$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 10$

Passaggio 8.6.3.2

Sostituisci $x$ con $10$ nella diseguaglianza originale.

$- 1 ((10) - 7) ((10) + 11) \geq 0$

Passaggio 8.6.3.3

Il lato sinistro di $- 63$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 8.6.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 11$ Falso

$- 11 < x < 7$ Vero

$x > 7$ Falso

$x < - 11$ Falso

$- 11 < x < 7$ Vero

$x > 7$ Falso

Passaggio 8.7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 11 \leq x \leq 7$

Passaggio 9

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[- 11, 7]$

Notazione intensiva:

${x | - 11 \leq x \leq 7}$

Passaggio 10

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[- 7, 11]$

Notazione intensiva:

${y | - 7 \leq y \leq 11}$

Passaggio 11

Determina il dominio e l'intervallo.

Dominio: $[- 11, 7], {x | - 11 \leq x \leq 7}$

Intervallo: $[- 7, 11], {y | - 7 \leq y \leq 11}$

Passaggio 12