Matematica discreta Esempi

$\frac{x^{2}}{48} + \frac{y^{2}}{64} = 1$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{x^{2}}{48}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y^{2}}{64} = 1 - \frac{x^{2}}{48}$

Passaggio 2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $64$ .

$64 \frac{y^{2}}{64} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{48})$

Passaggio 3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Elimina il fattore comune di $64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$64 \frac{y^{2}}{64} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{48})$

Passaggio 3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{48})$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica $64 (1 - \frac{x^{2}}{48})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 64 \cdot 1 + 64 (- \frac{x^{2}}{48})$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $64$ per $1$ .

$y^{2} = 64 + 64 (- \frac{x^{2}}{48})$

Passaggio 3.2.1.3

Elimina il fattore comune di $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x^{2}}{48}$ nel numeratore.

$y^{2} = 64 + 64 \frac{- x^{2}}{48}$

Passaggio 3.2.1.3.2

Scomponi $16$ da $64$ .

$y^{2} = 64 + 16 (4) \frac{- x^{2}}{48}$

Passaggio 3.2.1.3.3

Scomponi $16$ da $48$ .

$y^{2} = 64 + 16 \cdot 4 \frac{- x^{2}}{16 \cdot 3}$

Passaggio 3.2.1.3.4

Elimina il fattore comune.

$y^{2} = 64 + 16 \cdot 4 \frac{- x^{2}}{16 \cdot 3}$

Passaggio 3.2.1.3.5

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 64 + 4 \frac{- x^{2}}{3}$

Passaggio 3.2.1.4

$4$ e $\frac{- x^{2}}{3}$ .

$y^{2} = 64 + \frac{4 (- x^{2})}{3}$

Passaggio 3.2.1.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$y^{2} = 64 + \frac{- 4 x^{2}}{3}$

Passaggio 3.2.1.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{2} = 64 - \frac{4 x^{2}}{3}$

Passaggio 4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{64 - \frac{4 x^{2}}{3}}$

Passaggio 5

Semplifica $\pm \sqrt{64 - \frac{4 x^{2}}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per scrivere $64$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{64 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4 x^{2}}{3}}$

Passaggio 5.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

$64$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{64 \cdot 3}{3} - \frac{4 x^{2}}{3}}$

Passaggio 5.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{64 \cdot 3 - 4 x^{2}}{3}}$

Passaggio 5.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scomponi $4$ da $64 \cdot 3 - 4 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Scomponi $4$ da $64 \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (16 \cdot 3) - 4 x^{2}}{3}}$

Passaggio 5.3.1.2

Scomponi $4$ da $- 4 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (16 \cdot 3) + 4 (- x^{2})}{3}}$

Passaggio 5.3.1.3

Scomponi $4$ da $4 (16 \cdot 3) + 4 (- x^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (16 \cdot 3 - x^{2})}{3}}$

Passaggio 5.3.2

Moltiplica $16$ per $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (48 - x^{2})}{3}}$

Passaggio 5.4

Riscrivi $\sqrt{\frac{4 (48 - x^{2})}{3}}$ come $\frac{\sqrt{4 (48 - x^{2})}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{4 (48 - x^{2})}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 5.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2^{2} (48 - x^{2})}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 5.5.2

Estrai i termini dal radicale.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 5.6

Moltiplica $\frac{2 \sqrt{48 - x^{2}}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 5.7

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Moltiplica $\frac{2 \sqrt{48 - x^{2}}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 5.7.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 5.7.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 5.7.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 5.7.5

Somma $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 5.7.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.7.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.7.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.7.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.7.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 5.7.6.5

Calcola l'esponente.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 5.8

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

Passaggio 6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

Passaggio 6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

Passaggio 6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

$y = \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

Passaggio 7

Imposta il radicando in $\sqrt{3 (48 - x^{2})}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$3 (48 - x^{2}) \geq 0$

Passaggio 8

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 (48 - x^{2}) \geq 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 (48 - x^{2}) \geq 0$ .

$\frac{3 (48 - x^{2})}{3} \geq \frac{0}{3}$

Passaggio 8.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (48 - x^{2})}{3} \geq \frac{0}{3}$

Passaggio 8.1.2.1.2

Dividi $48 - x^{2}$ per $1$ .

$48 - x^{2} \geq \frac{0}{3}$

Passaggio 8.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.3.1

Dividi $0$ per $3$ .

$48 - x^{2} \geq 0$

Passaggio 8.2

Sottrai $48$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x^{2} \geq - 48$

Passaggio 8.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} \geq - 48$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} \geq - 48$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 48}{- 1}$

Passaggio 8.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 48}{- 1}$

Passaggio 8.3.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 48}{- 1}$

Passaggio 8.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1

Dividi $- 48$ per $- 1$ .

$x^{2} \leq 48$

Passaggio 8.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati della diseguaglianza per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{48}$

Passaggio 8.5

Semplifica l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$| x | \leq \sqrt{48}$

Passaggio 8.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.2.1

Semplifica $\sqrt{48}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.2.1.1

Riscrivi $48$ come $4^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.2.1.1.1

Scomponi $16$ da $48$ .

$| x | \leq \sqrt{16 (3)}$

Passaggio 8.5.2.1.1.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{4^{2} \cdot 3}$

Passaggio 8.5.2.1.2

Estrai i termini dal radicale.

$| x | \leq | 4 | \sqrt{3}$

Passaggio 8.5.2.1.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $4$ è $4$ .

$| x | \leq 4 \sqrt{3}$

Passaggio 8.6

Scrivi $| x | \leq 4 \sqrt{3}$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$x \geq 0$

Passaggio 8.6.2

Nella parte in cui $x$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$x \leq 4 \sqrt{3}$

Passaggio 8.6.3

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$x < 0$

Passaggio 8.6.4

Nella parte in cui $x$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- x \leq 4 \sqrt{3}$

Passaggio 8.6.5

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} x \leq 4 \sqrt{3} & x \geq 0 \\ - x \leq 4 \sqrt{3} & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 8.7

Trova l'intersezione di $x \leq 4 \sqrt{3}$ e $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 4 \sqrt{3}$

Passaggio 8.8

Risolvi $- x \leq 4 \sqrt{3}$ dove $x < 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.8.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \leq 4 \sqrt{3}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.8.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \leq 4 \sqrt{3}$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{4 \sqrt{3}}{- 1}$

Passaggio 8.8.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.8.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{4 \sqrt{3}}{- 1}$

Passaggio 8.8.1.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \geq \frac{4 \sqrt{3}}{- 1}$

Passaggio 8.8.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.8.1.3.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{4 \sqrt{3}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot (4 \sqrt{3})$

Passaggio 8.8.1.3.2

Riscrivi $- 1 \cdot (4 \sqrt{3})$ come $- (4 \sqrt{3})$ .

$x \geq - (4 \sqrt{3})$

Passaggio 8.8.1.3.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$x \geq - 4 \sqrt{3}$

Passaggio 8.8.2

Trova l'intersezione di $x \geq - 4 \sqrt{3}$ e $x < 0$ .

$- 4 \sqrt{3} \leq x < 0$

Passaggio 8.9

Trova l'unione delle soluzioni.

$- 4 \sqrt{3} \leq x \leq 4 \sqrt{3}$

Passaggio 9

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[- 4 \sqrt{3}, 4 \sqrt{3}]$

Notazione intensiva:

${x | - 4 \sqrt{3} \leq x \leq 4 \sqrt{3}}$

Passaggio 10

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[- 8, 8]$

Notazione intensiva:

${y | - 8 \leq y \leq 8}$

Passaggio 11

Determina il dominio e l'intervallo.

Dominio: $[- 4 \sqrt{3}, 4 \sqrt{3}], {x | - 4 \sqrt{3} \leq x \leq 4 \sqrt{3}}$

Intervallo: $[- 8, 8], {y | - 8 \leq y \leq 8}$

Passaggio 12