Matematica discreta Esempi

$\frac{x^{2}}{225} + \frac{y^{2}}{625} = 1$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{x^{2}}{225}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y^{2}}{625} = 1 - \frac{x^{2}}{225}$

Passaggio 2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $625$ .

$625 \frac{y^{2}}{625} = 625 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Passaggio 3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Elimina il fattore comune di $625$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$625 \frac{y^{2}}{625} = 625 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Passaggio 3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 625 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica $625 (1 - \frac{x^{2}}{225})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 625 \cdot 1 + 625 (- \frac{x^{2}}{225})$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $625$ per $1$ .

$y^{2} = 625 + 625 (- \frac{x^{2}}{225})$

Passaggio 3.2.1.3

Elimina il fattore comune di $25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x^{2}}{225}$ nel numeratore.

$y^{2} = 625 + 625 \frac{- x^{2}}{225}$

Passaggio 3.2.1.3.2

Scomponi $25$ da $625$ .

$y^{2} = 625 + 25 (25) \frac{- x^{2}}{225}$

Passaggio 3.2.1.3.3

Scomponi $25$ da $225$ .

$y^{2} = 625 + 25 \cdot 25 \frac{- x^{2}}{25 \cdot 9}$

Passaggio 3.2.1.3.4

Elimina il fattore comune.

$y^{2} = 625 + 25 \cdot 25 \frac{- x^{2}}{25 \cdot 9}$

Passaggio 3.2.1.3.5

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 625 + 25 \frac{- x^{2}}{9}$

Passaggio 3.2.1.4

$25$ e $\frac{- x^{2}}{9}$ .

$y^{2} = 625 + \frac{25 (- x^{2})}{9}$

Passaggio 3.2.1.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $25$ .

$y^{2} = 625 + \frac{- 25 x^{2}}{9}$

Passaggio 3.2.1.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{2} = 625 - \frac{25 x^{2}}{9}$

Passaggio 4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{625 - \frac{25 x^{2}}{9}}$

Passaggio 5

Semplifica $\pm \sqrt{625 - \frac{25 x^{2}}{9}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Scrivi l'espressione usando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Riscrivi $625$ come $25^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{25^{2} - \frac{25 x^{2}}{9}}$

Passaggio 5.1.2

Riscrivi $\frac{25 x^{2}}{9}$ come ${(\frac{5 x}{3})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{25^{2} - {(\frac{5 x}{3})}^{2}}$

Passaggio 5.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 25$ e $b = \frac{5 x}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(25 + \frac{5 x}{3}) (25 - \frac{5 x}{3})}$

Passaggio 5.3

Per scrivere $25$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(25 \cdot \frac{3}{3} + \frac{5 x}{3}) (25 - \frac{5 x}{3})}$

Passaggio 5.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

$25$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{25 \cdot 3}{3} + \frac{5 x}{3}) (25 - \frac{5 x}{3})}$

Passaggio 5.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{25 \cdot 3 + 5 x}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

Passaggio 5.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Scomponi $5$ da $25 \cdot 3 + 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1

Scomponi $5$ da $25 \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (5 \cdot 3) + 5 x}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

Passaggio 5.5.1.2

Scomponi $5$ da $5 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (5 \cdot 3) + 5 (x)}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

Passaggio 5.5.1.3

Scomponi $5$ da $5 (5 \cdot 3) + 5 (x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (5 \cdot 3 + x)}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

Passaggio 5.5.2

Moltiplica $5$ per $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

Passaggio 5.6

Per scrivere $25$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} (25 \cdot \frac{3}{3} - \frac{5 x}{3})}$

Passaggio 5.7

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

$25$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} (\frac{25 \cdot 3}{3} - \frac{5 x}{3})}$

Passaggio 5.7.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{25 \cdot 3 - 5 x}{3}}$

Passaggio 5.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

Scomponi $5$ da $25 \cdot 3 - 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1.1

Scomponi $5$ da $25 \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{5 (5 \cdot 3) - 5 x}{3}}$

Passaggio 5.8.1.2

Scomponi $5$ da $- 5 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{5 (5 \cdot 3) + 5 (- x)}{3}}$

Passaggio 5.8.1.3

Scomponi $5$ da $5 (5 \cdot 3) + 5 (- x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{5 (5 \cdot 3 - x)}{3}}$

Passaggio 5.8.2

Moltiplica $5$ per $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{5 (15 - x)}{3}}$

Passaggio 5.9

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.1

Moltiplica $\frac{5 (15 + x)}{3}$ per $\frac{5 (15 - x)}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x) (5 (15 - x))}{3 \cdot 3}}$

Passaggio 5.9.2

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.2.1

Moltiplica $5$ per $5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (15 + x) (15 - x)}{3 \cdot 3}}$

Passaggio 5.9.2.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (15 + x) (15 - x)}{9}}$

Passaggio 5.10

Riscrivi $\frac{25 (15 + x) (15 - x)}{9}$ come ${(\frac{5}{3})}^{2} ((15 + x) (15 - x))$ .

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Passaggio 5.10.1

Scomponi la potenza perfetta $5^{2}$ su $25 (15 + x) (15 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} ((15 + x) (15 - x))}{9}}$

Passaggio 5.10.2

Scomponi la potenza perfetta $3^{2}$ su $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} ((15 + x) (15 - x))}{3^{2} \cdot 1}}$

Passaggio 5.10.3

Riordina la frazione $\frac{5^{2} ((15 + x) (15 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{5}{3})}^{2} ((15 + x) (15 - x))}$

Passaggio 5.11

Estrai i termini dal radicale.

$y = \pm \frac{5}{3} \sqrt{(15 + x) (15 - x)}$

Passaggio 5.12

$\frac{5}{3}$ e $\sqrt{(15 + x) (15 - x)}$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

Passaggio 6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

Passaggio 6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

Passaggio 6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

$y = \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

Passaggio 7

Imposta il radicando in $\sqrt{(15 + x) (15 - x)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$(15 + x) (15 - x) \geq 0$

Passaggio 8

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 8.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$15 + x = 0$

$15 - x = 0$

Passaggio 8.2

Imposta $15 + x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 8.2.1

Imposta $15 + x$ uguale a $0$ .

$15 + x = 0$

Passaggio 8.2.2

Sottrai $15$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 15$

Passaggio 8.3

Imposta $15 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Imposta $15 - x$ uguale a $0$ .

$15 - x = 0$

Passaggio 8.3.2

Risolvi $15 - x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Sottrai $15$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 15$

Passaggio 8.3.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 15$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 15$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 15}{- 1}$

Passaggio 8.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 15}{- 1}$

Passaggio 8.3.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 15}{- 1}$

Passaggio 8.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.2.3.1

Dividi $- 15$ per $- 1$ .

$x = 15$

Passaggio 8.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(15 + x) (15 - x) \geq 0$ vera.

$x = - 15, 15$

Passaggio 8.5

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 15$

$- 15 < x < 15$

$x > 15$

Passaggio 8.6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 8.6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 15$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 15$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 18$

Passaggio 8.6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 18$ nella diseguaglianza originale.

$(15 - 18) (15 - (- 18)) \geq 0$

Passaggio 8.6.1.3

Il lato sinistro di $- 99$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 8.6.2

Testa un valore sull'intervallo $- 15 < x < 15$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 15 < x < 15$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 8.6.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$(15 + 0) (15 - (0)) \geq 0$

Passaggio 8.6.2.3

Il lato sinistro di $225$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 8.6.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 15$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 15$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 18$

Passaggio 8.6.3.2

Sostituisci $x$ con $18$ nella diseguaglianza originale.

$(15 + 18) (15 - (18)) \geq 0$

Passaggio 8.6.3.3

Il lato sinistro di $- 99$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 8.6.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 15$ Falso

$- 15 < x < 15$ Vero

$x > 15$ Falso

$x < - 15$ Falso

$- 15 < x < 15$ Vero

$x > 15$ Falso

Passaggio 8.7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 15 \leq x \leq 15$

Passaggio 9

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[- 15, 15]$

Notazione intensiva:

${x | - 15 \leq x \leq 15}$

Passaggio 10

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[- 25, 25]$

Notazione intensiva:

${y | - 25 \leq y \leq 25}$

Passaggio 11

Determina il dominio e l'intervallo.

Dominio: $[- 15, 15], {x | - 15 \leq x \leq 15}$

Intervallo: $[- 25, 25], {y | - 25 \leq y \leq 25}$

Passaggio 12