Matematica discreta Esempi

${(x + \frac{3}{4})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{25}{16}$

Passaggio 1

Sottrai ${(x + \frac{3}{4})}^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

${(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{25}{16} - {(x + \frac{3}{4})}^{2}$

Passaggio 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - {(x + \frac{3}{4})}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{25}{16} - {(x + \frac{3}{4})}^{2}}$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi ${(x + \frac{3}{4})}^{2}$ come $(x + \frac{3}{4}) (x + \frac{3}{4})$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - ((x + \frac{3}{4}) (x + \frac{3}{4}))}$

Passaggio 3.2

Espandi $(x + \frac{3}{4}) (x + \frac{3}{4})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x (x + \frac{3}{4}) + \frac{3}{4} (x + \frac{3}{4}))}$

Passaggio 3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x \cdot x + x \frac{3}{4} + \frac{3}{4} (x + \frac{3}{4}))}$

Passaggio 3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x \cdot x + x \frac{3}{4} + \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4})}$

Passaggio 3.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + x \frac{3}{4} + \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4})}$

Passaggio 3.3.1.2

$x$ e $\frac{3}{4}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4})}$

Passaggio 3.3.1.3

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{3 \cdot x}{4} + \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4})}$

Passaggio 3.3.1.4

$\frac{3}{4}$ e $x$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{3 x}{4} + \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4})}$

Passaggio 3.3.1.5

Moltiplica $\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.5.1

Moltiplica $\frac{3}{4}$ per $\frac{3}{4}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{3 x}{4} + \frac{3 x}{4} + \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 4})}$

Passaggio 3.3.1.5.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{3 x}{4} + \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4 \cdot 4})}$

Passaggio 3.3.1.5.3

Moltiplica $4$ per $4$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{3 x}{4} + \frac{3 x}{4} + \frac{9}{16})}$

Passaggio 3.3.2

Somma $\frac{3 x}{4}$ e $\frac{3 x}{4}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + 2 \frac{3 x}{4} + \frac{9}{16})}$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + 2 \frac{3 x}{2 (2)} + \frac{9}{16})}$

Passaggio 3.4.2

Elimina il fattore comune.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + 2 \frac{3 x}{2 \cdot 2} + \frac{9}{16})}$

Passaggio 3.4.3

Riscrivi l'espressione.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{3 x}{2} + \frac{9}{16})}$

Passaggio 3.5

Applica la proprietà distributiva.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - x^{2} - \frac{3 x}{2} - \frac{9}{16}}$

Passaggio 3.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.6.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{- x^{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{25 - 9}{16}}$

Passaggio 3.6.2

Sottrai $9$ da $25$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{- x^{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{16}{16}}$

Passaggio 3.6.3

Dividi $16$ per $16$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{- x^{2} - \frac{3 x}{2} + 1}$

Passaggio 3.7

Per scrivere $- x^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{- x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 x}{2} + 1}$

Passaggio 3.8

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.8.1

$- x^{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{3 x}{2} + 1}$

Passaggio 3.8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- x^{2} \cdot 2 - 3 x}{2} + 1}$

Passaggio 3.9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.9.1

Scomponi $x$ da $- x^{2} \cdot 2 - 3 x$ .

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Passaggio 3.9.1.1

Scomponi $x$ da $- x^{2} \cdot 2$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- x \cdot 2) - 3 x}{2} + 1}$

Passaggio 3.9.1.2

Scomponi $x$ da $- 3 x$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- x \cdot 2) + x \cdot - 3}{2} + 1}$

Passaggio 3.9.1.3

Scomponi $x$ da $x (- x \cdot 2) + x \cdot - 3$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- x \cdot 2 - 3)}{2} + 1}$

Passaggio 3.9.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- 2 x - 3)}{2} + 1}$

Passaggio 3.10

Riduci in una frazione.

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Passaggio 3.10.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- 2 x - 3)}{2} + \frac{2}{2}}$

Passaggio 3.10.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- 2 x - 3) + 2}{2}}$

Passaggio 3.11

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- 2 x) + x \cdot - 3 + 2}{2}}$

Passaggio 3.11.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x \cdot x + x \cdot - 3 + 2}{2}}$

Passaggio 3.11.3

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x \cdot x - 3 \cdot x + 2}{2}}$

Passaggio 3.11.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.11.4.1

Sposta $x$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 (x \cdot x) - 3 \cdot x + 2}{2}}$

Passaggio 3.11.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{2} - 3 \cdot x + 2}{2}}$

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{2} - 3 x + 2}{2}}$

Passaggio 3.11.5

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 3.11.5.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 2 \cdot 2 = - 4$ e la cui somma è $b = - 3$ .

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Passaggio 3.11.5.1.1

Scomponi $- 3$ da $- 3 x$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{2} - 3 (x) + 2}{2}}$

Passaggio 3.11.5.1.2

Riscrivi $- 3$ come $1$ più $- 4$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{2} + (1 - 4) x + 2}{2}}$

Passaggio 3.11.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{2} + 1 x - 4 x + 2}{2}}$

Passaggio 3.11.5.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{2} + x - 4 x + 2}{2}}$

Passaggio 3.11.5.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 3.11.5.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{(- 2 x^{2} + x) - 4 x + 2}{2}}$

Passaggio 3.11.5.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- 2 x + 1) + 2 (- 2 x + 1)}{2}}$

Passaggio 3.11.5.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- 2 x + 1$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{(- 2 x + 1) (x + 2)}{2}}$

Passaggio 3.12

Riscrivi $\sqrt{\frac{(- 2 x + 1) (x + 2)}{2}}$ come $\frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)}}{\sqrt{2}}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 3.13

Moltiplica $\frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 3.14

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.14.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 3.14.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 3.14.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 3.14.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.14.5

Somma $1$ e $1$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 3.14.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 3.14.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.14.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.14.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.14.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.14.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.14.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 3.14.6.5

Calcola l'esponente.

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.15

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2) \cdot 2}}{2}$

Passaggio 3.16

Riordina i fattori in $\pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2) \cdot 2}}{2}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2}$

Passaggio 4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2}$

Passaggio 4.2

Somma $\frac{1}{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 4.3

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2}$

Passaggio 4.4

Somma $\frac{1}{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 4.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2} + \frac{1}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2} + \frac{1}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2} + \frac{1}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 5

Imposta il radicando in $\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$2 (- 2 x + 1) (x + 2) \geq 0$

Passaggio 6

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$- 2 x + 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Passaggio 6.2

Imposta $- 2 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.2.1

Imposta $- 2 x + 1$ uguale a $0$ .

$- 2 x + 1 = 0$

Passaggio 6.2.2

Risolvi $- 2 x + 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 6.2.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x = - 1$

Passaggio 6.2.2.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - 1$ e semplifica.

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Passaggio 6.2.2.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - 1$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 6.2.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.2.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

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Passaggio 6.2.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 6.2.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 6.2.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.2.2.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.3

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.3.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 6.3.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 6.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 (- 2 x + 1) (x + 2) \geq 0$ vera.

$x = \frac{1}{2}, - 2$

Passaggio 6.5

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 2$

$- 2 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Passaggio 6.6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 6.6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 6.6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$2 (- 2 \cdot - 4 + 1) ((- 4) + 2) \geq 0$

Passaggio 6.6.1.3

Il lato sinistro di $- 36$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 6.6.2

Testa un valore sull'intervallo $- 2 < x < \frac{1}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 2 < x < \frac{1}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 6.6.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$2 (- 2 \cdot 0 + 1) ((0) + 2) \geq 0$

Passaggio 6.6.2.3

Il lato sinistro di $4$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 6.6.3

Testa un valore sull'intervallo $x > \frac{1}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 6.6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > \frac{1}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 3$

Passaggio 6.6.3.2

Sostituisci $x$ con $3$ nella diseguaglianza originale.

$2 (- 2 \cdot 3 + 1) ((3) + 2) \geq 0$

Passaggio 6.6.3.3

Il lato sinistro di $- 50$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 6.6.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < \frac{1}{2}$ Vero

$x > \frac{1}{2}$ Falso

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < \frac{1}{2}$ Vero

$x > \frac{1}{2}$ Falso

Passaggio 6.7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 2 \leq x \leq \frac{1}{2}$

Passaggio 7

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[- 2, \frac{1}{2}]$

Notazione intensiva:

${x | - 2 \leq x \leq \frac{1}{2}}$

Passaggio 8

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[- \frac{3}{4}, \frac{7}{4}]$

Notazione intensiva:

${y | - \frac{3}{4} \leq y \leq \frac{7}{4}}$

Passaggio 9

Determina il dominio e l'intervallo.

Dominio: $[- 2, \frac{1}{2}], {x | - 2 \leq x \leq \frac{1}{2}}$

Intervallo: $[- \frac{3}{4}, \frac{7}{4}], {y | - \frac{3}{4} \leq y \leq \frac{7}{4}}$

Passaggio 10