Matematica discreta Esempi

$f (x) = \sqrt{x}$ , $g (x) = \sqrt{4 - x^{2}}$

Passaggio 1

Trova il quoziente delle funzioni.

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Passaggio 1.1

Sostituisci gli identificatori della funzione con le funzioni effettive in $\frac{f (x)}{g (x)}$ .

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4 - x^{2}}}$

Passaggio 1.2

Semplifica.

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Passaggio 1.2.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.2.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2^{2} - x^{2}}}$

Passaggio 1.2.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 2$ e $b = x$ .

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ per $\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ .

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

Passaggio 1.2.3

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.2.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ per $\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

Passaggio 1.2.3.2

Eleva $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

Passaggio 1.2.3.3

Eleva $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1} {\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1}}$

Passaggio 1.2.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1 + 1}}$

Passaggio 1.2.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{2}}$

Passaggio 1.2.3.6

Riscrivi ${\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{2}$ come $(2 + x) (2 - x)$ .

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Passaggio 1.2.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ come ${((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{({((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.2.3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 1.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.2.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.2.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.2.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{1}}$

Passaggio 1.2.3.6.5

Semplifica.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{(2 + x) (2 - x)}$

Passaggio 1.2.4

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{x (2 + x) (2 - x)}}{(2 + x) (2 - x)}$

Passaggio 2

Imposta il radicando in $\sqrt{x (2 + x) (2 - x)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x (2 + x) (2 - x) \geq 0$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$2 + x = 0$

$2 - x = 0$

Passaggio 3.2

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.3

Imposta $2 + x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.3.1

Imposta $2 + x$ uguale a $0$ .

$2 + x = 0$

Passaggio 3.3.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 3.4

Imposta $2 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.4.1

Imposta $2 - x$ uguale a $0$ .

$2 - x = 0$

Passaggio 3.4.2

Risolvi $2 - x = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.4.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 2$

Passaggio 3.4.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 2$ e semplifica.

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Passaggio 3.4.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 2$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 3.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.4.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 3.4.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 3.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.4.2.2.3.1

Dividi $- 2$ per $- 1$ .

$x = 2$

Passaggio 3.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (2 + x) (2 - x) \geq 0$ vera.

$x = 0, - 2, 2$

Passaggio 3.6

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Passaggio 3.7

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 3.7.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 3.7.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 3.7.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$- 4 (2 - 4) (2 - (- 4)) \geq 0$

Passaggio 3.7.1.3

Il lato sinistro di $48$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 3.7.2

Testa un valore sull'intervallo $- 2 < x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 3.7.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 2 < x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 1$

Passaggio 3.7.2.2

Sostituisci $x$ con $- 1$ nella diseguaglianza originale.

$- 1 (2 - 1) (2 - (- 1)) \geq 0$

Passaggio 3.7.2.3

Il lato sinistro di $- 3$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 3.7.3

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 3.7.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 1$

Passaggio 3.7.3.2

Sostituisci $x$ con $1$ nella diseguaglianza originale.

$1 (2 + 1) (2 - (1)) \geq 0$

Passaggio 3.7.3.3

Il lato sinistro di $3$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 3.7.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 3.7.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 3.7.4.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$4 (2 + 4) (2 - (4)) \geq 0$

Passaggio 3.7.4.3

Il lato sinistro di $- 48$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 3.7.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 2$ Vero

$- 2 < x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Vero

$x > 2$ Falso

$x < - 2$ Vero

$- 2 < x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Vero

$x > 2$ Falso

Passaggio 3.8

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq - 2$ o $0 \leq x \leq 2$

Passaggio 4

Imposta il denominatore in $\frac{\sqrt{x (2 + x) (2 - x)}}{(2 + x) (2 - x)}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$(2 + x) (2 - x) = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 + x = 0$

$2 - x = 0$

Passaggio 5.2

Imposta $2 + x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.2.1

Imposta $2 + x$ uguale a $0$ .

$2 + x = 0$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 5.3

Imposta $2 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta $2 - x$ uguale a $0$ .

$2 - x = 0$

Passaggio 5.3.2

Risolvi $2 - x = 0$ per $x$ .

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Passaggio 5.3.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 2$

Passaggio 5.3.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 2$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 2$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.2.2.3.1

Dividi $- 2$ per $- 1$ .

$x = 2$

Passaggio 5.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 + x) (2 - x) = 0$ vera.

$x = - 2, 2$

Passaggio 6

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 2) \cup [0, 2)$

Notazione intensiva:

${x | x < - 2, 0 \leq x < 2}$

Passaggio 7