Matematica discreta Esempi

$(9, 8)$ , $(9, 3)$

Passaggio 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Passaggio 2

Find the dot product.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 9 \cdot 9 + 8 \cdot 3$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica $9$ per $9$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 8 \cdot 3$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $8$ per $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 24$

Passaggio 2.2.2

Somma $81$ e $24$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 105$

Passaggio 3

Trova la grandezza di $a⃗$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{9^{2} + 8^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{81 + 8^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{81 + 64}$

Passaggio 3.2.3

Somma $81$ e $64$ .

$| a⃗ | = \sqrt{145}$

Passaggio 4

Trova la grandezza di $b⃗$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{9^{2} + 3^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 3^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 9}$

Passaggio 4.2.3

Somma $81$ e $9$ .

$| b⃗ | = \sqrt{90}$

Passaggio 4.2.4

Riscrivi $90$ come $3^{2} \cdot 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Scomponi $9$ da $90$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 (10)}$

Passaggio 4.2.4.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}$

Passaggio 4.2.5

Estrai i termini dal radicale.

$| b⃗ | = 3 \sqrt{10}$

Passaggio 5

Sostituisci i valori nella formula.

$θ = \arccos (\frac{105}{\sqrt{145} (3 \sqrt{10})})$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Elimina il fattore comune di $105$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Scomponi $3$ da $105$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{\sqrt{145} (3 \sqrt{10})})$

Passaggio 6.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Scomponi $3$ da $\sqrt{145} (3 \sqrt{10})$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{3 (\sqrt{145} (\sqrt{10}))})$

Passaggio 6.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{3 (\sqrt{145} (\sqrt{10}))})$

Passaggio 6.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{145} (\sqrt{10})})$

Passaggio 6.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{145 \cdot 10}})$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $145$ per $10$ .

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{1450}})$

Passaggio 6.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Riscrivi $1450$ come $5^{2} \cdot 58$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Scomponi $25$ da $1450$ .

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{25 (58)}})$

Passaggio 6.3.1.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{5^{2} \cdot 58}})$

Passaggio 6.3.2

Estrai i termini dal radicale.

$θ = \arccos (\frac{35}{5 \sqrt{58}})$

Passaggio 6.4

Elimina il fattore comune di $35$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Scomponi $5$ da $35$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 \sqrt{58}})$

Passaggio 6.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Scomponi $5$ da $5 \sqrt{58}$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 (\sqrt{58})})$

Passaggio 6.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 \sqrt{58}})$

Passaggio 6.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arccos (\frac{7}{\sqrt{58}})$

Passaggio 6.5

Moltiplica $\frac{7}{\sqrt{58}}$ per $\frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}}$ .

$θ = \arccos (\frac{7}{\sqrt{58}} \cdot \frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}})$

Passaggio 6.6

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Moltiplica $\frac{7}{\sqrt{58}}$ per $\frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}}$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{\sqrt{58} \sqrt{58}})$

Passaggio 6.6.2

Eleva $\sqrt{58}$ alla potenza di $1$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1} \sqrt{58}})$

Passaggio 6.6.3

Eleva $\sqrt{58}$ alla potenza di $1$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1} {\sqrt{58}}^{1}})$

Passaggio 6.6.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1 + 1}})$

Passaggio 6.6.5

Somma $1$ e $1$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{2}})$

Passaggio 6.6.6

Riscrivi ${\sqrt{58}}^{2}$ come $58$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{58}$ come $58^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{(58^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 6.6.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Passaggio 6.6.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.6.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.6.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{1}})$

Passaggio 6.6.6.5

Calcola l'esponente.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58})$

Passaggio 6.7

Calcola $\arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58})$ .

$θ = 23.19859051$