Matematica discreta Esempi

(9, 8)

$(9, 8)$ ,

(9, 3)

$(9, 3)$

Passaggio 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

θ = arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Passaggio 2

Find the dot product.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

a⃗ \cdot b⃗ = 9 \cdot 9 + 8 \cdot 3

$a⃗ \cdot b⃗ = 9 \cdot 9 + 8 \cdot 3$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica

9

$9$ per

9

$9$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 8 \cdot 3

$a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 8 \cdot 3$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica

8

$8$ per

3

$3$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 24

$a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 24$

a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 24

$a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 24$

Passaggio 2.2.2

Somma

81

$81$ e

24

$24$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 105

$a⃗ \cdot b⃗ = 105$

a⃗ \cdot b⃗ = 105

$a⃗ \cdot b⃗ = 105$

a⃗ \cdot b⃗ = 105

$a⃗ \cdot b⃗ = 105$

Passaggio 3

Trova la grandezza di

a⃗

$a⃗$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

| a⃗ | = \sqrt{9^{2} + 8^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{9^{2} + 8^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Eleva

9

$9$ alla potenza di

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{81 + 8^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{81 + 8^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Eleva

8

$8$ alla potenza di

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{81 + 64}

$| a⃗ | = \sqrt{81 + 64}$

Passaggio 3.2.3

Somma

81

$81$ e

64

$64$ .

| a⃗ | = \sqrt{145}

$| a⃗ | = \sqrt{145}$

| a⃗ | = \sqrt{145}

$| a⃗ | = \sqrt{145}$

| a⃗ | = \sqrt{145}

$| a⃗ | = \sqrt{145}$

Passaggio 4

Trova la grandezza di

b⃗

$b⃗$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

| b⃗ | = \sqrt{9^{2} + 3^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{9^{2} + 3^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Eleva

9

$9$ alla potenza di

2

$2$ .

| b⃗ | = \sqrt{81 + 3^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 3^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Eleva

3

$3$ alla potenza di

2

$2$ .

| b⃗ | = \sqrt{81 + 9}

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 9}$

Passaggio 4.2.3

Somma

81

$81$ e

9

$9$ .

| b⃗ | = \sqrt{90}

$| b⃗ | = \sqrt{90}$

Passaggio 4.2.4

Riscrivi

90

$90$ come

3^{2} \cdot 10

$3^{2} \cdot 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Scomponi

9

$9$ da

90

$90$ .

| b⃗ | = \sqrt{9 (10)}

$| b⃗ | = \sqrt{9 (10)}$

Passaggio 4.2.4.2

Riscrivi

9

$9$ come

3^{2}

$3^{2}$ .

| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}$

| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}$

Passaggio 4.2.5

Estrai i termini dal radicale.

| b⃗ | = 3 \sqrt{10}

$| b⃗ | = 3 \sqrt{10}$

| b⃗ | = 3 \sqrt{10}

$| b⃗ | = 3 \sqrt{10}$

| b⃗ | = 3 \sqrt{10}

$| b⃗ | = 3 \sqrt{10}$

Passaggio 5

Sostituisci i valori nella formula.

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ \frac{105}{\sqrt{145} (3 \sqrt{10})} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (\frac{105}{\sqrt{145} (3 \sqrt{10})})$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Elimina il fattore comune di

105

$105$ e

3

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Scomponi

3

$3$ da

105

$105$ .

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ \frac{3 \cdot 35}{\sqrt{145} (3 \sqrt{10})} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{\sqrt{145} (3 \sqrt{10})})$

Passaggio 6.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Scomponi

3

$3$ da

\sqrt{145} (3 \sqrt{10})

$\sqrt{145} (3 \sqrt{10})$ .

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ \frac{3 \cdot 35}{3 (\sqrt{145} (\sqrt{10}))} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{3 (\sqrt{145} (\sqrt{10}))})$

Passaggio 6.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{3 (\sqrt{145} (\sqrt{10}))})$

Passaggio 6.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{145} (\sqrt{10})})$

Passaggio 6.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{145 \cdot 10}})$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica

$145$ per

$10$ .

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{1450}})$

Passaggio 6.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Riscrivi

$1450$ come

$5^{2} \cdot 58$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Scomponi

$25$ da

$1450$ .

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{25 (58)}})$

Passaggio 6.3.1.2

Riscrivi

$25$ come

$5^{2}$ .

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{5^{2} \cdot 58}})$

Passaggio 6.3.2

Estrai i termini dal radicale.

$θ = \arccos (\frac{35}{5 \sqrt{58}})$

Passaggio 6.4

Elimina il fattore comune di

$35$ e

$5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Scomponi

$5$ da

$35$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 \sqrt{58}})$

Passaggio 6.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Scomponi

$5$ da

$5 \sqrt{58}$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 (\sqrt{58})})$

Passaggio 6.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 \sqrt{58}})$

Passaggio 6.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arccos (\frac{7}{\sqrt{58}})$

Passaggio 6.5

Moltiplica

$\frac{7}{\sqrt{58}}$ per

$\frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}}$ .

$θ = \arccos (\frac{7}{\sqrt{58}} \cdot \frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}})$

Passaggio 6.6

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Moltiplica

$\frac{7}{\sqrt{58}}$ per

$\frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}}$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{\sqrt{58} \sqrt{58}})$

Passaggio 6.6.2

Eleva

$\sqrt{58}$ alla potenza di

$1$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1} \sqrt{58}})$

Passaggio 6.6.3

Eleva

$\sqrt{58}$ alla potenza di

$1$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1} {\sqrt{58}}^{1}})$

Passaggio 6.6.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1 + 1}})$

Passaggio 6.6.5

Somma

$1$ e

$1$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{2}})$

Passaggio 6.6.6

Riscrivi

${\sqrt{58}}^{2}$ come

$58$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.6.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{58}$ come

$58^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{(58^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 6.6.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Passaggio 6.6.6.3

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.6.6.4

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.6.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{1}})$

Passaggio 6.6.6.5

Calcola l'esponente.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58})$

Passaggio 6.7

Calcola

$\arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58})$ .

$θ = 23.19859051$