Matematica discreta Esempi

$x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y - 14 = 0$

Passaggio 1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = x^{2} + 2 x - 14$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 2 x - 14))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 2 x - 14)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (x^{2} + 2 x - 14)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 4 (2 x) - 4 \cdot - 14}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.1

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 8 x - 4 \cdot - 14}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.4.2

Moltiplica $- 4$ per $- 14$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 8 x + 56}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.5

Somma $4$ e $56$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 8 x + 60}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.6

Riscrivi $- 4 x^{2} - 8 x + 60$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.6.1

Scomponi $4$ da $- 4 x^{2} - 8 x + 60$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.6.1.1

Scomponi $4$ da $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 8 x + 60}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.6.1.2

Scomponi $4$ da $- 8 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 2 x) + 60}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.6.1.3

Scomponi $4$ da $60$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 2 x) + 4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.6.1.4

Scomponi $4$ da $4 (- x^{2}) + 4 (- 2 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 2 x) + 4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.6.1.5

Scomponi $4$ da $4 (- x^{2} - 2 x) + 4 (15)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 2 x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.6.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.6.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 15 = - 15$ e la cui somma è $b = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.6.2.1.1

Scomponi $- 2$ da $- 2 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 2 x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.6.2.1.2

Riscrivi $- 2$ come $3$ più $- 5$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (3 - 5) x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.6.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 3 x - 5 x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.6.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.6.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} + 3 x) - 5 x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.6.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (x (- x + 3) + 5 (- x + 3))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.6.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x + 3$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 ((- x + 3) (x + 5))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x + 3) (x + 5)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.7

Riscrivi $4 (- x + 3) (x + 5)$ come $2^{2} ((- x + 3) (x + 5))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.7.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- x + 3) (x + 5)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.7.2

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} ((- x + 3) (x + 5))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}}{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 2 x - 14)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (x^{2} + 2 x - 14)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 4 (2 x) - 4 \cdot - 14}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 8 x - 4 \cdot - 14}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.4.2

Moltiplica $- 4$ per $- 14$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 8 x + 56}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.5

Somma $4$ e $56$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 8 x + 60}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.6

Riscrivi $- 4 x^{2} - 8 x + 60$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Scomponi $4$ da $- 4 x^{2} - 8 x + 60$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1.1

Scomponi $4$ da $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 8 x + 60}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.6.1.2

Scomponi $4$ da $- 8 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 2 x) + 60}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.6.1.3

Scomponi $4$ da $60$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 2 x) + 4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.6.1.4

Scomponi $4$ da $4 (- x^{2}) + 4 (- 2 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 2 x) + 4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.6.1.5

Scomponi $4$ da $4 (- x^{2} - 2 x) + 4 (15)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 2 x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.6.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 15 = - 15$ e la cui somma è $b = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.2.1.1

Scomponi $- 2$ da $- 2 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 2 x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.6.2.1.2

Riscrivi $- 2$ come $3$ più $- 5$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (3 - 5) x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.6.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 3 x - 5 x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.6.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} + 3 x) - 5 x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.6.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (x (- x + 3) + 5 (- x + 3))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.6.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x + 3$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 ((- x + 3) (x + 5))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x + 3) (x + 5)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.7

Riscrivi $4 (- x + 3) (x + 5)$ come $2^{2} ((- x + 3) (x + 5))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- x + 3) (x + 5)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.7.2

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} ((- x + 3) (x + 5))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}}{2}$

Passaggio 4.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}$

Passaggio 4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$y = 1 + \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 2 x - 14)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (x^{2} + 2 x - 14)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 4 (2 x) - 4 \cdot - 14}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 8 x - 4 \cdot - 14}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.4.2

Moltiplica $- 4$ per $- 14$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 8 x + 56}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.5

Somma $4$ e $56$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 8 x + 60}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6

Riscrivi $- 4 x^{2} - 8 x + 60$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.1

Scomponi $4$ da $- 4 x^{2} - 8 x + 60$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.1.1

Scomponi $4$ da $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 8 x + 60}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6.1.2

Scomponi $4$ da $- 8 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 2 x) + 60}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6.1.3

Scomponi $4$ da $60$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 2 x) + 4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6.1.4

Scomponi $4$ da $4 (- x^{2}) + 4 (- 2 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 2 x) + 4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6.1.5

Scomponi $4$ da $4 (- x^{2} - 2 x) + 4 (15)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 2 x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 15 = - 15$ e la cui somma è $b = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.2.1.1

Scomponi $- 2$ da $- 2 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 2 x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6.2.1.2

Riscrivi $- 2$ come $3$ più $- 5$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (3 - 5) x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 3 x - 5 x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} + 3 x) - 5 x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (x (- x + 3) + 5 (- x + 3))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x + 3$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 ((- x + 3) (x + 5))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x + 3) (x + 5)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.7

Riscrivi $4 (- x + 3) (x + 5)$ come $2^{2} ((- x + 3) (x + 5))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.7.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- x + 3) (x + 5)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.7.2

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} ((- x + 3) (x + 5))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}}{2}$

Passaggio 5.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}$

Passaggio 5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$y = 1 - \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}$

Passaggio 6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = 1 + \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}$

$y = 1 - \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}$

Passaggio 7

L'equazione data $y = 1 + \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}, 1 - \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}$ non può essere scritta come $y = k x$ ; pertanto, $y$ non varia direttamente con $x$ .

$y$ non varia direttamente al variare di $x$