Matematica discreta Esempi

$f (x) = \frac{{(3 x - 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1

Una funzione razionale è ogni funzione che si può scrivere come rapporto di due funzioni polinomiali, dove il denominatore non è $0$ .

$f (x) = \frac{{(3 x - 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ è una funzione razionale

Passaggio 2

Una funzione razionale è propria quando il grado del numeratore è minore del grado del denominatore, altrimenti è impropria.

Il grado del numeratore minore del grado del denominatore implica una funzione propria

Il grado del numeratore maggiore del grado del denominatore implica una funzione impropria

Il grado del numeratore uguale al grado del denominatore implica una funzione impropria

Passaggio 3

Trova il grado del numeratore.

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Passaggio 3.1

Semplifica e riordina il polinomio.

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Passaggio 3.1.1

Usa il teorema binomiale.

${(3 x)}^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.2.1

Applica la regola del prodotto a $3 x$ .

$3^{3} x^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Passaggio 3.1.2.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 x^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Passaggio 3.1.2.3

Applica la regola del prodotto a $3 x$ .

$27 x^{3} + 3 (3^{2} x^{2}) \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Passaggio 3.1.2.4

Moltiplica $3$ per $3^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.1.2.4.1

Sposta $3^{2}$ .

$27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3 x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Passaggio 3.1.2.4.2

Moltiplica $3^{2}$ per $3$ .

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Passaggio 3.1.2.4.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3^{1} x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Passaggio 3.1.2.4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$27 x^{3} + 3^{2 + 1} x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Passaggio 3.1.2.4.3

Somma $2$ e $1$ .

$27 x^{3} + 3^{3} x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Passaggio 3.1.2.5

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 x^{3} + 27 x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Passaggio 3.1.2.6

Moltiplica $- 1$ per $27$ .

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Passaggio 3.1.2.7

Moltiplica $3$ per $3$ .

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Passaggio 3.1.2.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x \cdot 1 + {(- 1)}^{3}$

Passaggio 3.1.2.9

Moltiplica $9$ per $1$ .

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x + {(- 1)}^{3}$

Passaggio 3.1.2.10

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x - 1$

Passaggio 3.2

L'esponente maggiore è il grado del polinomio.

$3$

Passaggio 4

Trova il grado del denominatore.

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Passaggio 4.1

Semplifica e riordina il polinomio.

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Passaggio 4.1.1

Riscrivi ${(x^{2} + 1)}^{2}$ come $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$

Passaggio 4.1.2

Espandi $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Passaggio 4.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)$

Passaggio 4.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

Passaggio 4.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.3.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.1.3.1.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

Passaggio 4.1.3.1.1.2

Somma $2$ e $2$ .

$x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

Passaggio 4.1.3.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

Passaggio 4.1.3.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1$

Passaggio 4.1.3.1.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1$

Passaggio 4.1.3.2

Somma $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$x^{4} + 2 x^{2} + 1$

Passaggio 4.2

L'esponente maggiore è il grado del polinomio.

$4$

Passaggio 5

Il grado del numeratore $3$ è minore del grado del denominatore $4$ .

$3 < 4$

Passaggio 6

Il grado del numeratore è minore del grado del denominatore; ciò significa che $f (x)$ è una funzione propria.

Proprio