Matematica discreta Esempi

$f (x) = x^{2} + x$ , $[- 1, 2]$

Passaggio 1

Secondo il teorema dei valori intermedi, se $f$ è una funzione continua a valore reale sull'intervallo $[a, b]$ e $u$ è un numero tra $f (a)$ e $f (b)$ , allora esiste un punto $c$ contenuto nell'intervallo $[a, b]$ tale che $f (c) = u$ .

$u = f (c) = 0$

Passaggio 2

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 3

Calcola $f (a) = f (- 1) = {(- 1)}^{2} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Rimuovi le parentesi.

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} - 1$

Passaggio 3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1) = 1 - 1$

Passaggio 3.3

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (- 1) = 0$

Passaggio 4

Calcola $f (b) = f (2) = {(2)}^{2} + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Rimuovi le parentesi.

$f (2) = {(2)}^{2} + 2$

Passaggio 4.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = 4 + 2$

Passaggio 4.3

Somma $4$ e $2$ .

$f (2) = 6$

Passaggio 5

Poiché $0$ è sull'intervallo $[0, 6]$ , risolvi l'equazione per $x$ alla radice ponendo $y$ come $0$ in $y = x^{2} + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $x^{2} + x = 0$ .

$x^{2} + x = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi $x$ da $x^{2} + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$x \cdot x + x = 0$

Passaggio 5.2.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x \cdot x + x = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$x \cdot x + x \cdot 1 = 0$

Passaggio 5.2.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$x (x + 1) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.5

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 5.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (x + 1) = 0$ vera.

$x = 0, - 1$

Passaggio 6

Secondo il teorema dei valori intermedi, esiste una radice $f (c) = 0$ sull'intervallo $[0, 6]$ perché $f$ è una funzione continua su $[- 1, 2]$ .

Le radici dell'intervallo $[- 1, 2]$ si trovano con $x = 0, x = - 1$ .

Passaggio 7