Matematica discreta Esempi

f (x) = x^{2} + x

$f (x) = x^{2} + x$ ,

[- 1, 2]

$[- 1, 2]$

Passaggio 1

Secondo il teorema dei valori intermedi, se

f

$f$ è una funzione continua a valore reale sull'intervallo

[a, b]

$[a, b]$ e

u

$u$ è un numero tra

f (a)

$f (a)$ e

f (b)

$f (b)$ , allora esiste un punto

c

$c$ contenuto nell'intervallo

[a, b]

$[a, b]$ tale che

f (c) = u

$f (c) = u$ .

u = f (c) = 0

$u = f (c) = 0$

Passaggio 2

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

(- \infty, \infty)

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

{x | x \in R}

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 3

Calcola

f (a) = f (- 1) = {(- 1)}^{2} - 1

$f (a) = f (- 1) = {(- 1)}^{2} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Rimuovi le parentesi.

f (- 1) = {(- 1)}^{2} - 1

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} - 1$

Passaggio 3.2

Eleva

- 1

$- 1$ alla potenza di

2

$2$ .

f (- 1) = 1 - 1

$f (- 1) = 1 - 1$

Passaggio 3.3

Sottrai

1

$1$ da

1

$1$ .

f (- 1) = 0

$f (- 1) = 0$

f (- 1) = 0

$f (- 1) = 0$

Passaggio 4

Calcola

f (b) = f (2) = {(2)}^{2} + 2

$f (b) = f (2) = {(2)}^{2} + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Rimuovi le parentesi.

f (2) = {(2)}^{2} + 2

$f (2) = {(2)}^{2} + 2$

Passaggio 4.2

Eleva

2

$2$ alla potenza di

2

$2$ .

f (2) = 4 + 2

$f (2) = 4 + 2$

Passaggio 4.3

Somma

4

$4$ e

2

$2$ .

f (2) = 6

$f (2) = 6$

f (2) = 6

$f (2) = 6$

Passaggio 5

Poiché

0

$0$ è sull'intervallo

[0, 6]

$[0, 6]$ , risolvi l'equazione per

x

$x$ alla radice ponendo

y

$y$ come

0

$0$ in

y = x^{2} + x

$y = x^{2} + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come

x^{2} + x = 0

$x^{2} + x = 0$ .

x^{2} + x = 0

$x^{2} + x = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi

x

$x$ da

x^{2} + x

$x^{2} + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi

x

$x$ da

x^{2}

$x^{2}$ .

x \cdot x + x = 0

$x \cdot x + x = 0$

Passaggio 5.2.2

Eleva

x

$x$ alla potenza di

1

$1$ .

x \cdot x + x = 0

$x \cdot x + x = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi

x

$x$ da

x^{1}

$x^{1}$ .

x \cdot x + x \cdot 1 = 0

$x \cdot x + x \cdot 1 = 0$

Passaggio 5.2.4

Scomponi

x

$x$ da

x \cdot x + x \cdot 1

$x \cdot x + x \cdot 1$ .

x (x + 1) = 0

$x (x + 1) = 0$

x (x + 1) = 0

$x (x + 1) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a

0

$0$ , l'intera espressione sarà uguale a

0

$0$ .

x = 0

$x = 0$

x + 1 = 0

$x + 1 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta

x

$x$ uguale a

0

$0$ .

x = 0

$x = 0$

Passaggio 5.5

Imposta

x + 1

$x + 1$ uguale a

0

$0$ e risolvi per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta

x + 1

$x + 1$ uguale a

0

$0$ .

x + 1 = 0

$x + 1 = 0$

Passaggio 5.5.2

Sottrai

1

$1$ da entrambi i lati dell'equazione.

x = - 1

$x = - 1$

x = - 1

$x = - 1$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono

x (x + 1) = 0

$x (x + 1) = 0$ vera.

x = 0, - 1

$x = 0, - 1$

x = 0, - 1

$x = 0, - 1$

Passaggio 6

Secondo il teorema dei valori intermedi, esiste una radice

f (c) = 0

$f (c) = 0$ sull'intervallo

[0, 6]

$[0, 6]$ perché

f

$f$ è una funzione continua su

[- 1, 2]

$[- 1, 2]$ .

Le radici dell'intervallo

[- 1, 2]

$[- 1, 2]$ si trovano con

x = 0, x = - 1

$x = 0, x = - 1$ .

Passaggio 7