Matematica discreta Esempi

$x^{4} - x^{3} - x^{2} + 2 x + 1$

Passaggio 1

Raggruppa i termini.

$x^{4} - x^{2} - x^{3} + 2 x + 1$

Passaggio 2

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4} - x^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - x^{2} - x^{3} + 2 x + 1$

Passaggio 2.2

Scomponi $x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - x^{3} + 2 x + 1$

Passaggio 2.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$ .

$x^{2} (x^{2} - 1) - x^{3} + 2 x + 1$

Passaggio 3

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 1^{2}) - x^{3} + 2 x + 1$

Passaggio 4

Scomponi.

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Passaggio 4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ dove $a = x$ e $i = 1$ .

$x^{2} ((x + 1) (x - 1)) - x^{3} + 2 x + 1$

Passaggio 4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) - x^{3} + 2 x + 1$

Passaggio 5

Scomponi $- x^{3} + 2 x + 1$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 5.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Passaggio 5.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1$

Passaggio 5.3

Sostituisci $- 1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 5.3.1

Sostituisci $- 1$ nel polinomio.

$- {(- 1)}^{3} + 2 \cdot - 1 + 1$

Passaggio 5.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- - 1 + 2 \cdot - 1 + 1$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 + 2 \cdot - 1 + 1$

Passaggio 5.3.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$1 - 2 + 1$

Passaggio 5.3.5

Sottrai $2$ da $1$ .

$- 1 + 1$

Passaggio 5.3.6

Somma $- 1$ e $1$ .

$0$

Passaggio 5.4

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{- x^{3} + 2 x + 1}{x + 1}$

Passaggio 5.5

Dividi $- x^{3} + 2 x + 1$ per $x + 1$ .

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Passaggio 5.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

Passaggio 5.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$

Passaggio 5.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 5.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{3} - x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 5.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Passaggio 5.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

Passaggio 5.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

Passaggio 5.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Passaggio 5.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} + x$

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Passaggio 5.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$x$

Passaggio 5.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$x$	+	$1$

Passaggio 5.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$x$	+	$1$

Passaggio 5.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$x$	+	$1$
							+	$x$	+	$1$

Passaggio 5.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x + 1$

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$x$	+	$1$
							-	$x$	-	$1$

Passaggio 5.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$x$	+	$1$
							-	$x$	-	$1$
										$0$

Passaggio 5.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$- x^{2} + x + 1$

Passaggio 5.6

Scrivi $- x^{3} + 2 x + 1$ come insieme di fattori.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (- x^{2} + x + 1)$

Passaggio 6

Scomponi $x + 1$ da $x^{2} (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (- x^{2} + x + 1)$ .

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Passaggio 6.1

Scomponi $x + 1$ da $x^{2} (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + (x + 1) (- x^{2} + x + 1)$

Passaggio 6.2

Scomponi $x + 1$ da $(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + (x + 1) (- x^{2} + x + 1)$ .

$(x + 1) (x^{2} (x - 1) - x^{2} + x + 1)$

Passaggio 7

Applica la proprietà distributiva.

$(x + 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 - x^{2} + x + 1)$

Passaggio 8

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 8.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 8.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(x + 1) (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 1 - x^{2} + x + 1)$

Passaggio 8.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(x + 1) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 - x^{2} + x + 1)$

Passaggio 8.2

Somma $2$ e $1$ .

$(x + 1) (x^{3} + x^{2} \cdot - 1 - x^{2} + x + 1)$

Passaggio 9

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{3} - 1 x^{2} - x^{2} + x + 1)$

Passaggio 10

Riscrivi $- 1 x^{2}$ come $- x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} - x^{2} + x + 1)$

Passaggio 11

Sottrai $x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{3} - 2 x^{2} + x + 1)$