Matematica discreta Esempi

$\tan (\frac{5 π}{6} + \frac{3 π}{4})$

Passaggio 1

Per scrivere $\frac{5 π}{6}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\tan (\frac{5 π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 π}{4})$

Passaggio 2

Per scrivere $\frac{3 π}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\tan (\frac{5 π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Passaggio 3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $12$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{5 π}{6}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\tan (\frac{5 π \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Passaggio 3.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\tan (\frac{5 π \cdot 2}{12} + \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Passaggio 3.3

Moltiplica $\frac{3 π}{4}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\tan (\frac{5 π \cdot 2}{12} + \frac{3 π \cdot 3}{4 \cdot 3})$

Passaggio 3.4

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\tan (\frac{5 π \cdot 2}{12} + \frac{3 π \cdot 3}{12})$

Passaggio 4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\tan (\frac{5 π \cdot 2 + 3 π \cdot 3}{12})$

Passaggio 5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\tan (\frac{10 π + 3 π \cdot 3}{12})$

Passaggio 5.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\tan (\frac{10 π + 9 π}{12})$

Passaggio 5.3

Somma $10 π$ e $9 π$ .

$\tan (\frac{19 π}{12})$

Passaggio 6

Il valore esatto di $\tan (\frac{19 π}{12})$ è $- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ .

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Passaggio 6.1

Riscrivi $\frac{19 π}{12}$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per $2$ .

$\tan (\frac{\frac{19 π}{6}}{2})$

Passaggio 6.2

Applica la formula di bisezione per la tangente.

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{19 π}{6})}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}$

Passaggio 6.3

Cambia $\pm$ in $-$ , poiché la tangente è negativa nel quarto quadrante.

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{19 π}{6})}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}$

Passaggio 6.4

Semplifica $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{19 π}{6})}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}$ .

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Passaggio 6.4.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}$

Passaggio 6.4.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$- \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}$

Passaggio 6.4.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}$

Passaggio 6.4.4

Moltiplica $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Passaggio 6.4.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}$

Passaggio 6.4.4.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ per $1$ .

$- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}$

Passaggio 6.4.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}$

Passaggio 6.4.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}$

Passaggio 6.4.7

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}}$

Passaggio 6.4.8

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{6})}}$

Passaggio 6.4.9

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}}$

Passaggio 6.4.10

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}}$

Passaggio 6.4.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}}$

Passaggio 6.4.12

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}}$

Passaggio 6.4.13

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.4.13.1

Elimina il fattore comune.

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}}$

Passaggio 6.4.13.2

Riscrivi l'espressione.

$- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{1}{2 - \sqrt{3}}}$

Passaggio 6.4.14

Moltiplica $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ per $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ .

$- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) (\frac{1}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}})}$

Passaggio 6.4.15

Moltiplica $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ per $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ .

$- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}}$

Passaggio 6.4.16

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{4 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Passaggio 6.4.17

Semplifica.

$- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{1}}$

Passaggio 6.4.18

Dividi $2 + \sqrt{3}$ per $1$ .

$- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}$

Passaggio 6.4.19

Espandi $(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 6.4.19.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \sqrt{2 (2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}$

Passaggio 6.4.19.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}$

Passaggio 6.4.19.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 6.4.20

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 6.4.20.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.4.20.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 6.4.20.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{3}$ .

$- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 6.4.20.1.3

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}$

Passaggio 6.4.20.1.4

Moltiplica $3$ per $3$ .

$- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}}$

Passaggio 6.4.20.1.5

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}$

Passaggio 6.4.20.1.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3}$

Passaggio 6.4.20.2

Somma $4$ e $3$ .

$- \sqrt{7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}$

Passaggio 6.4.20.3

Somma $2 \sqrt{3}$ e $2 \sqrt{3}$ .

$- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$

Forma decimale:

$- 3.73205080 \dots$