Matematica discreta Esempi

$[\begin{array}{c} - 11 & - 1 & - 9 \\ - 14 & - 12 & - 1 \\ - 11 & - 9 & - 12 \end{array}] [\begin{array}{c} 9 & 1 & 20 \\ 4 & 5 & 4 \\ - 15 & 12 & - 1 \end{array}]$

Passaggio 1

Moltiplica $[\begin{array}{c} - 11 & - 1 & - 9 \\ - 14 & - 12 & - 1 \\ - 11 & - 9 & - 12 \end{array}] [\begin{array}{c} 9 & 1 & 20 \\ 4 & 5 & 4 \\ - 15 & 12 & - 1 \end{array}]$ .

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Passaggio 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $3 \times 3$ and the second matrix is $3 \times 3$ .

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni riga nella prima matrice per ogni colonna nella seconda matrice.

$[\begin{array}{c} - 11 \cdot 9 - 1 \cdot 4 - 9 \cdot - 15 & - 11 \cdot 1 - 1 \cdot 5 - 9 \cdot 12 & - 11 \cdot 20 - 1 \cdot 4 - 9 \cdot - 1 \\ - 14 \cdot 9 - 12 \cdot 4 - - 15 & - 14 \cdot 1 - 12 \cdot 5 - 1 \cdot 12 & - 14 \cdot 20 - 12 \cdot 4 - - 1 \\ - 11 \cdot 9 - 9 \cdot 4 - 12 \cdot - 15 & - 11 \cdot 1 - 9 \cdot 5 - 12 \cdot 12 & - 11 \cdot 20 - 9 \cdot 4 - 12 \cdot - 1 \end{array}]$

Passaggio 1.3

Semplifica ogni elemento della matrice moltiplicando tutte le espressioni.

$[\begin{array}{c} 32 & - 124 & - 215 \\ - 159 & - 86 & - 327 \\ 45 & - 200 & - 244 \end{array}]$

Passaggio 2

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Passaggio 2.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 2.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 2.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 86 & - 327 \\ - 200 & - 244 \end{array} |$

Passaggio 2.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$32 | \begin{array}{c} - 86 & - 327 \\ - 200 & - 244 \end{array} |$

Passaggio 2.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 159 & - 327 \\ 45 & - 244 \end{array} |$

Passaggio 2.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$124 | \begin{array}{c} - 159 & - 327 \\ 45 & - 244 \end{array} |$

Passaggio 2.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 159 & - 86 \\ 45 & - 200 \end{array} |$

Passaggio 2.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 215 | \begin{array}{c} - 159 & - 86 \\ 45 & - 200 \end{array} |$

Passaggio 2.9

Add the terms together.

$32 | \begin{array}{c} - 86 & - 327 \\ - 200 & - 244 \end{array} | + 124 | \begin{array}{c} - 159 & - 327 \\ 45 & - 244 \end{array} | - 215 | \begin{array}{c} - 159 & - 86 \\ 45 & - 200 \end{array} |$

Passaggio 3

Calcola $| \begin{array}{c} - 86 & - 327 \\ - 200 & - 244 \end{array} |$ .

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Passaggio 3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$32 (- 86 \cdot - 244 - (- 200 \cdot - 327)) + 124 | \begin{array}{c} - 159 & - 327 \\ 45 & - 244 \end{array} | - 215 | \begin{array}{c} - 159 & - 86 \\ 45 & - 200 \end{array} |$

Passaggio 3.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica $- 86$ per $- 244$ .

$32 (20984 - (- 200 \cdot - 327)) + 124 | \begin{array}{c} - 159 & - 327 \\ 45 & - 244 \end{array} | - 215 | \begin{array}{c} - 159 & - 86 \\ 45 & - 200 \end{array} |$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $- (- 200 \cdot - 327)$ .

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Passaggio 3.2.1.2.1

Moltiplica $- 200$ per $- 327$ .

$32 (20984 - 1 \cdot 65400) + 124 | \begin{array}{c} - 159 & - 327 \\ 45 & - 244 \end{array} | - 215 | \begin{array}{c} - 159 & - 86 \\ 45 & - 200 \end{array} |$

Passaggio 3.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $65400$ .

$32 (20984 - 65400) + 124 | \begin{array}{c} - 159 & - 327 \\ 45 & - 244 \end{array} | - 215 | \begin{array}{c} - 159 & - 86 \\ 45 & - 200 \end{array} |$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $65400$ da $20984$ .

$32 \cdot - 44416 + 124 | \begin{array}{c} - 159 & - 327 \\ 45 & - 244 \end{array} | - 215 | \begin{array}{c} - 159 & - 86 \\ 45 & - 200 \end{array} |$

Passaggio 4

Calcola $| \begin{array}{c} - 159 & - 327 \\ 45 & - 244 \end{array} |$ .

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Passaggio 4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$32 \cdot - 44416 + 124 (- 159 \cdot - 244 - 45 \cdot - 327) - 215 | \begin{array}{c} - 159 & - 86 \\ 45 & - 200 \end{array} |$

Passaggio 4.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $- 159$ per $- 244$ .

$32 \cdot - 44416 + 124 (38796 - 45 \cdot - 327) - 215 | \begin{array}{c} - 159 & - 86 \\ 45 & - 200 \end{array} |$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $- 45$ per $- 327$ .

$32 \cdot - 44416 + 124 (38796 + 14715) - 215 | \begin{array}{c} - 159 & - 86 \\ 45 & - 200 \end{array} |$

Passaggio 4.2.2

Somma $38796$ e $14715$ .

$32 \cdot - 44416 + 124 \cdot 53511 - 215 | \begin{array}{c} - 159 & - 86 \\ 45 & - 200 \end{array} |$

Passaggio 5

Calcola $| \begin{array}{c} - 159 & - 86 \\ 45 & - 200 \end{array} |$ .

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Passaggio 5.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$32 \cdot - 44416 + 124 \cdot 53511 - 215 (- 159 \cdot - 200 - 45 \cdot - 86)$

Passaggio 5.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.1

Moltiplica $- 159$ per $- 200$ .

$32 \cdot - 44416 + 124 \cdot 53511 - 215 (31800 - 45 \cdot - 86)$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 45$ per $- 86$ .

$32 \cdot - 44416 + 124 \cdot 53511 - 215 (31800 + 3870)$

Passaggio 5.2.2

Somma $31800$ e $3870$ .

$32 \cdot - 44416 + 124 \cdot 53511 - 215 \cdot 35670$

Passaggio 6

Semplifica il determinante.

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Passaggio 6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.1.1

Moltiplica $32$ per $- 44416$ .

$- 1421312 + 124 \cdot 53511 - 215 \cdot 35670$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $124$ per $53511$ .

$- 1421312 + 6635364 - 215 \cdot 35670$

Passaggio 6.1.3

Moltiplica $- 215$ per $35670$ .

$- 1421312 + 6635364 - 7669050$

Passaggio 6.2

Somma $- 1421312$ e $6635364$ .

$5214052 - 7669050$

Passaggio 6.3

Sottrai $7669050$ da $5214052$ .

$- 2454998$