Matematica discreta Esempi

${(5 u + 2 v)}^{4}$

Passaggio 1

Utilizza il teorema di sviluppo binomiale per trovare ogni termine. Il teorema binomiale stabilisce che ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(5 u)}^{4 - k} \cdot {(2 v)}^{k}$

Passaggio 2

Espandi la sommatoria.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(5 u)}^{4 - 0} \cdot {(2 v)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(5 u)}^{4 - 1} \cdot {(2 v)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(5 u)}^{4 - 2} \cdot {(2 v)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(5 u)}^{4 - 3} \cdot {(2 v)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(5 u)}^{4 - 4} \cdot {(2 v)}^{4}$

Passaggio 3

Semplifica gli esponenti di ciascun termine dell'espansione.

$1 \cdot {(5 u)}^{4} \cdot {(2 v)}^{0} + 4 \cdot {(5 u)}^{3} \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Passaggio 4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica ${(5 u)}^{4}$ per $1$ .

${(5 u)}^{4} \cdot {(2 v)}^{0} + 4 \cdot {(5 u)}^{3} \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Passaggio 4.2

Applica la regola del prodotto a $5 u$ .

$5^{4} u^{4} \cdot {(2 v)}^{0} + 4 \cdot {(5 u)}^{3} \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Passaggio 4.3

Eleva $5$ alla potenza di $4$ .

$625 u^{4} \cdot {(2 v)}^{0} + 4 \cdot {(5 u)}^{3} \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Passaggio 4.4

Applica la regola del prodotto a $2 v$ .

$625 u^{4} \cdot (2^{0} v^{0}) + 4 \cdot {(5 u)}^{3} \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Passaggio 4.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$625 \cdot 2^{0} u^{4} v^{0} + 4 \cdot {(5 u)}^{3} \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Passaggio 4.6

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$625 \cdot 1 u^{4} v^{0} + 4 \cdot {(5 u)}^{3} \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Passaggio 4.7

Moltiplica $625$ per $1$ .

$625 u^{4} v^{0} + 4 \cdot {(5 u)}^{3} \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Passaggio 4.8

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$625 u^{4} \cdot 1 + 4 \cdot {(5 u)}^{3} \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Passaggio 4.9

Moltiplica $625$ per $1$ .

$625 u^{4} + 4 \cdot {(5 u)}^{3} \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Passaggio 4.10

Applica la regola del prodotto a $5 u$ .

$625 u^{4} + 4 \cdot (5^{3} u^{3}) \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Passaggio 4.11

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$625 u^{4} + 4 \cdot (125 u^{3}) \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Passaggio 4.12

Moltiplica $125$ per $4$ .

$625 u^{4} + 500 u^{3} \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Passaggio 4.13

Semplifica.

$625 u^{4} + 500 u^{3} \cdot (2 v) + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Passaggio 4.14

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$625 u^{4} + 500 \cdot 2 u^{3} v + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Passaggio 4.15

Moltiplica $500$ per $2$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Passaggio 4.16

Applica la regola del prodotto a $5 u$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 6 \cdot (5^{2} u^{2}) \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Passaggio 4.17

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 6 \cdot (25 u^{2}) \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Passaggio 4.18

Moltiplica $25$ per $6$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 150 u^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Passaggio 4.19

Applica la regola del prodotto a $2 v$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 150 u^{2} \cdot (2^{2} v^{2}) + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Passaggio 4.20

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 150 \cdot 2^{2} u^{2} v^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Passaggio 4.21

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 150 \cdot 4 u^{2} v^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Passaggio 4.22

Moltiplica $150$ per $4$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Passaggio 4.23

Semplifica.

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 4 \cdot (5 u) \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Passaggio 4.24

Moltiplica $5$ per $4$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 20 u \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Passaggio 4.25

Applica la regola del prodotto a $2 v$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 20 u \cdot (2^{3} v^{3}) + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Passaggio 4.26

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 20 \cdot 2^{3} u v^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Passaggio 4.27

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 20 \cdot 8 u v^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Passaggio 4.28

Moltiplica $20$ per $8$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 160 u v^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Passaggio 4.29

Moltiplica ${(5 u)}^{0}$ per $1$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 160 u v^{3} + {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Passaggio 4.30

Applica la regola del prodotto a $5 u$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 160 u v^{3} + 5^{0} u^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Passaggio 4.31

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 160 u v^{3} + 1 u^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Passaggio 4.32

Moltiplica $u^{0}$ per $1$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 160 u v^{3} + u^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Passaggio 4.33

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 160 u v^{3} + 1 \cdot {(2 v)}^{4}$

Passaggio 4.34

Moltiplica ${(2 v)}^{4}$ per $1$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 160 u v^{3} + {(2 v)}^{4}$

Passaggio 4.35

Applica la regola del prodotto a $2 v$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 160 u v^{3} + 2^{4} v^{4}$

Passaggio 4.36

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 160 u v^{3} + 16 v^{4}$