Matematica discreta Esempi

${(1 + j)}^{3}$

Passaggio 1

Utilizza il teorema di sviluppo binomiale per trovare ogni termine. Il teorema binomiale stabilisce che ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(1)}^{3 - k} \cdot {(j)}^{k}$

Passaggio 2

Espandi la sommatoria.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} \cdot {(1)}^{3 - 0} \cdot {(j)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} \cdot {(1)}^{3 - 1} \cdot {(j)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} \cdot {(1)}^{3 - 2} \cdot {(j)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} \cdot {(1)}^{3 - 3} \cdot {(j)}^{3}$

Passaggio 3

Semplifica gli esponenti di ciascun termine dell'espansione.

$1 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(j)}^{0} + 3 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(j)}^{1} + 3 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(j)}^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(j)}^{3}$

Passaggio 4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica $1$ per ${(1)}^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $1$ per ${(1)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Eleva $1$ alla potenza di $1$ .

$1^{1} \cdot {(1)}^{3} \cdot {(j)}^{0} + 3 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(j)}^{1} + 3 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(j)}^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(j)}^{3}$

Passaggio 4.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1^{1 + 3} \cdot {(j)}^{0} + 3 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(j)}^{1} + 3 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(j)}^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(j)}^{3}$

Passaggio 4.1.2

Somma $1$ e $3$ .

$1^{4} \cdot {(j)}^{0} + 3 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(j)}^{1} + 3 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(j)}^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(j)}^{3}$

Passaggio 4.2

Semplifica $1^{4} \cdot {(j)}^{0}$ .

$1^{4} + 3 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(j)}^{1} + 3 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(j)}^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(j)}^{3}$

Passaggio 4.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 3 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(j)}^{1} + 3 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(j)}^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(j)}^{3}$

Passaggio 4.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 3 \cdot 1 \cdot {(j)}^{1} + 3 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(j)}^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(j)}^{3}$

Passaggio 4.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$1 + 3 \cdot {(j)}^{1} + 3 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(j)}^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(j)}^{3}$

Passaggio 4.6

Semplifica.

$1 + 3 \cdot j + 3 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(j)}^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(j)}^{3}$

Passaggio 4.7

Calcola l'esponente.

$1 + 3 j + 3 \cdot 1 \cdot {(j)}^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(j)}^{3}$

Passaggio 4.8

Moltiplica $3$ per $1$ .

$1 + 3 j + 3 \cdot {(j)}^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(j)}^{3}$

Passaggio 4.9

Moltiplica $1$ per ${(1)}^{0}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.1

Moltiplica $1$ per ${(1)}^{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.1.1

Eleva $1$ alla potenza di $1$ .

$1 + 3 j + 3 j^{2} + 1^{1} \cdot {(1)}^{0} \cdot {(j)}^{3}$

Passaggio 4.9.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1 + 3 j + 3 j^{2} + 1^{1 + 0} \cdot {(j)}^{3}$

Passaggio 4.9.2

Somma $1$ e $0$ .

$1 + 3 j + 3 j^{2} + 1^{1} \cdot {(j)}^{3}$

Passaggio 4.10

Semplifica $1^{1} \cdot {(j)}^{3}$ .

$1 + 3 j + 3 j^{2} + j^{3}$