Matematica discreta Esempi

2 x + 2 y = 3

$2 x + 2 y = 3$ ,

- x + 2 y = 1

$- x + 2 y = 1$

Passaggio 1

Riscrivi in forma esplicita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

L'equazione in forma esplicita di una retta è

y = m x + b

$y = m x + b$ , dove

m

$m$ è il coefficiente angolare e

b

$b$ è l'intercetta di y.

y = m x + b

$y = m x + b$

Passaggio 1.2

Sottrai

2 x

$2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

2 y = 3 - 2 x

$2 y = 3 - 2 x$

Passaggio 1.3

Dividi per

2

$2$ ciascun termine in

2 y = 3 - 2 x

$2 y = 3 - 2 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Dividi per

2

$2$ ciascun termine in

2 y = 3 - 2 x

$2 y = 3 - 2 x$ .

\frac{2 y}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- 2 x}{2}

$\frac{2 y}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- 2 x}{2}$

Passaggio 1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Elimina il fattore comune di

2

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- 2 x}{2}$

Passaggio 1.3.2.1.2

Dividi

$y$ per

$1$ .

$y = \frac{3}{2} + \frac{- 2 x}{2}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Elimina il fattore comune di

$- 2$ e

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1

Scomponi

$2$ da

$- 2 x$ .

$y = \frac{3}{2} + \frac{2 (- x)}{2}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.2.1

Scomponi

$2$ da

$2$ .

$y = \frac{3}{2} + \frac{2 (- x)}{2 (1)}$

Passaggio 1.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{3}{2} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{3}{2} + \frac{- x}{1}$

Passaggio 1.3.3.1.2.4

Dividi

$- x$ per

$1$ .

$y = \frac{3}{2} - x$

Passaggio 1.4

Riordina

$\frac{3}{2}$ e

$- x$ .

$y = - x + \frac{3}{2}$

Passaggio 2

Utilizzando l'equazione in forma esplicita di una retta, il coefficiente angolare è

$- 1$ .

$m_{1} = - 1$

Passaggio 3

Riscrivi in forma esplicita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

L'equazione in forma esplicita di una retta è

$y = m x + b$ , dove

$m$ è il coefficiente angolare e

$b$ è l'intercetta di y.

$y = m x + b$

Passaggio 3.2

Somma

$x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 y = 1 + x$

Passaggio 3.3

Dividi per

$2$ ciascun termine in

$2 y = 1 + x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per

$2$ ciascun termine in

$2 y = 1 + x$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2} + \frac{x}{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2} + \frac{x}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Dividi

$y$ per

$1$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{x}{2}$

Passaggio 3.4

Scrivi in forma

$y = m x + b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riordina

$\frac{1}{2}$ e

$\frac{x}{2}$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 3.4.2

Riordina i termini.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$

Passaggio 4

Utilizzando l'equazione in forma esplicita di una retta, il coefficiente angolare è

$\frac{1}{2}$ .

$m_{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 5

Imposta il sistema di equazioni per trovare qualsiasi punto di intersezione.

$2 x + 2 y = 3, - x + 2 y = 1$

Passaggio 6

Risolvi il sistema di equazioni per trovare il punto di intersezione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Risolvi per

$x$ in

$2 x + 2 y = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Sottrai

$2 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 3 - 2 y$

$- x + 2 y = 1$

Passaggio 6.1.2

Dividi per

$2$ ciascun termine in

$2 x = 3 - 2 y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Dividi per

$2$ ciascun termine in

$2 x = 3 - 2 y$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- 2 y}{2}$

$- x + 2 y = 1$

Passaggio 6.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- 2 y}{2}$

$- x + 2 y = 1$

Passaggio 6.1.2.2.1.2

Dividi

$x$ per

$1$ .

$x = \frac{3}{2} + \frac{- 2 y}{2}$

$- x + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} + \frac{- 2 y}{2}$

$- x + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} + \frac{- 2 y}{2}$

$- x + 2 y = 1$

Passaggio 6.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.3.1

Elimina il fattore comune di

$- 2$ e

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.3.1.1

Scomponi

$2$ da

$- 2 y$ .

$x = \frac{3}{2} + \frac{2 (- y)}{2}$

$- x + 2 y = 1$

Passaggio 6.1.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.3.1.2.1

Scomponi

$2$ da

$2$ .

$x = \frac{3}{2} + \frac{2 (- y)}{2 (1)}$

$- x + 2 y = 1$

Passaggio 6.1.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{3}{2} + \frac{2 (- y)}{2 \cdot 1}$

$- x + 2 y = 1$

Passaggio 6.1.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{3}{2} + \frac{- y}{1}$

$- x + 2 y = 1$

Passaggio 6.1.2.3.1.2.4

Dividi

$- y$ per

$1$ .

$x = \frac{3}{2} - y$

$- x + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- x + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- x + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- x + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- x + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- x + 2 y = 1$

Passaggio 6.2

Sostituisci tutte le occorrenze di

$x$ con

$\frac{3}{2} - y$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di

$x$ in

$- x + 2 y = 1$ con

$\frac{3}{2} - y$ .

$- (\frac{3}{2} - y) + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica

$- (\frac{3}{2} - y) + 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{3}{2} + y + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

Passaggio 6.2.2.1.1.2

Moltiplica

$- - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.2.1

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$- \frac{3}{2} + 1 y + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

Passaggio 6.2.2.1.1.2.2

Moltiplica

$y$ per

$1$ .

$- \frac{3}{2} + y + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- \frac{3}{2} + y + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- \frac{3}{2} + y + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

Passaggio 6.2.2.1.2

Somma

$y$ e

$2 y$ .

$- \frac{3}{2} + 3 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- \frac{3}{2} + 3 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- \frac{3}{2} + 3 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- \frac{3}{2} + 3 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

Passaggio 6.3

Risolvi per

$y$ in

$- \frac{3}{2} + 3 y = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sposta tutti i termini non contenenti

$y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Somma

$\frac{3}{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 y = 1 + \frac{3}{2}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Passaggio 6.3.1.2

Scrivi

$1$ come una frazione con un comune denominatore.

$3 y = \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Passaggio 6.3.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 y = \frac{2 + 3}{2}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Passaggio 6.3.1.4

Somma

$2$ e

$3$ .

$3 y = \frac{5}{2}$

$x = \frac{3}{2} - y$

$3 y = \frac{5}{2}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Passaggio 6.3.2

Dividi per

$3$ ciascun termine in

$3 y = \frac{5}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Dividi per

$3$ ciascun termine in

$3 y = \frac{5}{2}$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\frac{5}{2}}{3}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\frac{5}{2}}{3}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Passaggio 6.3.2.2.1.2

Dividi

$y$ per

$1$ .

$y = \frac{\frac{5}{2}}{3}$

$x = \frac{3}{2} - y$

$y = \frac{\frac{5}{2}}{3}$

$x = \frac{3}{2} - y$

$y = \frac{\frac{5}{2}}{3}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Passaggio 6.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{3}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Passaggio 6.3.2.3.2

Moltiplica

$\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.2.1

Moltiplica

$\frac{5}{2}$ per

$\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{5}{2 \cdot 3}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Passaggio 6.3.2.3.2.2

Moltiplica

$2$ per

$3$ .

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{3}{2} - y$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{3}{2} - y$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{3}{2} - y$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{3}{2} - y$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Passaggio 6.4

Sostituisci tutte le occorrenze di

$y$ con

$\frac{5}{6}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di

$y$ in

$x = \frac{3}{2} - y$ con

$\frac{5}{6}$ .

$x = \frac{3}{2} - (\frac{5}{6})$

$y = \frac{5}{6}$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Semplifica

$\frac{3}{2} - (\frac{5}{6})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Per scrivere

$\frac{3}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{5}{6}$

$y = \frac{5}{6}$

Passaggio 6.4.2.1.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di

$6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.2.1

Moltiplica

$\frac{3}{2}$ per

$\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{5}{6}$

$y = \frac{5}{6}$

Passaggio 6.4.2.1.2.2

Moltiplica

$2$ per

$3$ .

$x = \frac{3 \cdot 3}{6} - \frac{5}{6}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{3 \cdot 3}{6} - \frac{5}{6}$

$y = \frac{5}{6}$

Passaggio 6.4.2.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{3 \cdot 3 - 5}{6}$

$y = \frac{5}{6}$

Passaggio 6.4.2.1.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.4.1

Moltiplica

$3$ per

$3$ .

$x = \frac{9 - 5}{6}$

$y = \frac{5}{6}$

Passaggio 6.4.2.1.4.2

Sottrai

$5$ da

$9$ .

$x = \frac{4}{6}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{4}{6}$

$y = \frac{5}{6}$

Passaggio 6.4.2.1.5

Elimina il fattore comune di

$4$ e

$6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.5.1

Scomponi

$2$ da

$4$ .

$x = \frac{2 (2)}{6}$

$y = \frac{5}{6}$

Passaggio 6.4.2.1.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.5.2.1

Scomponi

$2$ da

$6$ .

$x = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

$y = \frac{5}{6}$

Passaggio 6.4.2.1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

$y = \frac{5}{6}$

Passaggio 6.4.2.1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{2}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{2}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{2}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{2}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{2}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{2}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

Passaggio 6.5

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(\frac{2}{3}, \frac{5}{6})$

Passaggio 7

Poiché le pendenze sono differenti, le rette avranno esattamente un punto di intersezione.

$m_{1} = - 1$

$m_{2} = \frac{1}{2}$

$(\frac{2}{3}, \frac{5}{6})$

Passaggio 8