Matematica discreta Esempi

$12 x - 5 y = 9$ , $3 x - 8 y = - 18$

Passaggio 1

Riscrivi in forma esplicita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

L'equazione in forma esplicita di una retta è $y = m x + b$ , dove $m$ è il coefficiente angolare e $b$ è l'intercetta di y.

$y = m x + b$

Passaggio 1.2

Sottrai $12 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 5 y = 9 - 12 x$

Passaggio 1.3

Dividi per $- 5$ ciascun termine in $- 5 y = 9 - 12 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Dividi per $- 5$ ciascun termine in $- 5 y = 9 - 12 x$ .

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{9}{- 5} + \frac{- 12 x}{- 5}$

Passaggio 1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{9}{- 5} + \frac{- 12 x}{- 5}$

Passaggio 1.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{9}{- 5} + \frac{- 12 x}{- 5}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{9}{5} + \frac{- 12 x}{- 5}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$y = - \frac{9}{5} + \frac{12 x}{5}$

Passaggio 1.4

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Riordina $- \frac{9}{5}$ e $\frac{12 x}{5}$ .

$y = \frac{12 x}{5} - \frac{9}{5}$

Passaggio 1.4.2

Riordina i termini.

$y = \frac{12}{5} x - \frac{9}{5}$

Passaggio 2

Utilizzando l'equazione in forma esplicita di una retta, il coefficiente angolare è $\frac{12}{5}$ .

$m_{1} = \frac{12}{5}$

Passaggio 3

Riscrivi in forma esplicita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

L'equazione in forma esplicita di una retta è $y = m x + b$ , dove $m$ è il coefficiente angolare e $b$ è l'intercetta di y.

$y = m x + b$

Passaggio 3.2

Sottrai $3 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 8 y = - 18 - 3 x$

Passaggio 3.3

Dividi per $- 8$ ciascun termine in $- 8 y = - 18 - 3 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $- 8$ ciascun termine in $- 8 y = - 18 - 3 x$ .

$\frac{- 8 y}{- 8} = \frac{- 18}{- 8} + \frac{- 3 x}{- 8}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 8 y}{- 8} = \frac{- 18}{- 8} + \frac{- 3 x}{- 8}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 18}{- 8} + \frac{- 3 x}{- 8}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $- 18$ e $- 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1.1

Scomponi $- 2$ da $- 18$ .

$y = \frac{- 2 (9)}{- 8} + \frac{- 3 x}{- 8}$

Passaggio 3.3.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1.2.1

Scomponi $- 2$ da $- 8$ .

$y = \frac{- 2 \cdot 9}{- 2 \cdot 4} + \frac{- 3 x}{- 8}$

Passaggio 3.3.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{- 2 \cdot 9}{- 2 \cdot 4} + \frac{- 3 x}{- 8}$

Passaggio 3.3.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{9}{4} + \frac{- 3 x}{- 8}$

Passaggio 3.3.3.1.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$y = \frac{9}{4} + \frac{3 x}{8}$

Passaggio 3.4

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riordina $\frac{9}{4}$ e $\frac{3 x}{8}$ .

$y = \frac{3 x}{8} + \frac{9}{4}$

Passaggio 3.4.2

Riordina i termini.

$y = \frac{3}{8} x + \frac{9}{4}$

Passaggio 4

Utilizzando l'equazione in forma esplicita di una retta, il coefficiente angolare è $\frac{3}{8}$ .

$m_{2} = \frac{3}{8}$

Passaggio 5

Imposta il sistema di equazioni per trovare qualsiasi punto di intersezione.

$12 x - 5 y = 9, 3 x - 8 y = - 18$

Passaggio 6

Risolvi il sistema di equazioni per trovare il punto di intersezione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Risolvi per $x$ in $12 x - 5 y = 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Somma $5 y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$12 x = 9 + 5 y$

$3 x - 8 y = - 18$

Passaggio 6.1.2

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 x = 9 + 5 y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 x = 9 + 5 y$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{9}{12} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

Passaggio 6.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{12 x}{12} = \frac{9}{12} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

Passaggio 6.1.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{9}{12} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

$x = \frac{9}{12} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

$x = \frac{9}{12} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

Passaggio 6.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.3.1

Elimina il fattore comune di $9$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.3.1.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$x = \frac{3 (3)}{12} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

Passaggio 6.1.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.3.1.2.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$x = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

Passaggio 6.1.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

Passaggio 6.1.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

Passaggio 6.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $\frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ in $3 x - 8 y = - 18$ con $\frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$ .

$3 (\frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}) - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica $3 (\frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}) - 8 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 (\frac{3}{4}) + 3 (\frac{5 y}{12}) - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Passaggio 6.2.2.1.1.2

Moltiplica $3 (\frac{3}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.2.1

$3$ e $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{4} + 3 (\frac{5 y}{12}) - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Passaggio 6.2.2.1.1.2.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{9}{4} + 3 (\frac{5 y}{12}) - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$\frac{9}{4} + 3 (\frac{5 y}{12}) - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Passaggio 6.2.2.1.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.3.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$\frac{9}{4} + 3 (\frac{5 y}{3 (4)}) - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Passaggio 6.2.2.1.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{9}{4} + 3 (\frac{5 y}{3 \cdot 4}) - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Passaggio 6.2.2.1.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{9}{4} + \frac{5 y}{4} - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$\frac{9}{4} + \frac{5 y}{4} - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$\frac{9}{4} + \frac{5 y}{4} - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Passaggio 6.2.2.1.2

Per scrivere $- 8 y$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{9}{4} + \frac{5 y}{4} - 8 y \cdot \frac{4}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Passaggio 6.2.2.1.3

$- 8 y$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{9}{4} + \frac{5 y}{4} + \frac{- 8 y \cdot 4}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Passaggio 6.2.2.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{9}{4} + \frac{5 y - 8 y \cdot 4}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Passaggio 6.2.2.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{9 + 5 y - 8 y \cdot 4}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Passaggio 6.2.2.1.6

Moltiplica $4$ per $- 8$ .

$\frac{9 + 5 y - 32 y}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Passaggio 6.2.2.1.7

Sottrai $32 y$ da $5 y$ .

$\frac{9 - 27 y}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Passaggio 6.2.2.1.8

Scomponi $9$ da $9 - 27 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.8.1

Scomponi $9$ da $9$ .

$\frac{9 (1) - 27 y}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Passaggio 6.2.2.1.8.2

Scomponi $9$ da $- 27 y$ .

$\frac{9 (1) + 9 (- 3 y)}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Passaggio 6.2.2.1.8.3

Scomponi $9$ da $9 (1) + 9 (- 3 y)$ .

$\frac{9 (1 - 3 y)}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$\frac{9 (1 - 3 y)}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$\frac{9 (1 - 3 y)}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$\frac{9 (1 - 3 y)}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$\frac{9 (1 - 3 y)}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Passaggio 6.3

Risolvi per $y$ in $\frac{9 (1 - 3 y)}{4} = - 18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica ogni lato per $4$ .

$\frac{9 (1 - 3 y)}{4} \cdot 4 = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Semplifica $\frac{9 (1 - 3 y)}{4} \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 (1 - 3 y)}{4} \cdot 4 = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Passaggio 6.3.2.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$9 (1 - 3 y) = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$9 (1 - 3 y) = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Passaggio 6.3.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$9 \cdot 1 + 9 (- 3 y) = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Passaggio 6.3.2.1.1.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1.3.1

Moltiplica $9$ per $1$ .

$9 + 9 (- 3 y) = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Passaggio 6.3.2.1.1.3.2

Moltiplica $- 3$ per $9$ .

$9 - 27 y = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Passaggio 6.3.2.1.1.3.3

Riordina $9$ e $- 27 y$ .

$- 27 y + 9 = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$- 27 y + 9 = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$- 27 y + 9 = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$- 27 y + 9 = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Moltiplica $- 18$ per $4$ .

$- 27 y + 9 = - 72$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$- 27 y + 9 = - 72$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$- 27 y + 9 = - 72$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Passaggio 6.3.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 27 y = - 72 - 9$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Passaggio 6.3.3.1.2

Sottrai $9$ da $- 72$ .

$- 27 y = - 81$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$- 27 y = - 81$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Passaggio 6.3.3.2

Dividi per $- 27$ ciascun termine in $- 27 y = - 81$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1

Dividi per $- 27$ ciascun termine in $- 27 y = - 81$ .

$\frac{- 27 y}{- 27} = \frac{- 81}{- 27}$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Passaggio 6.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 27 y}{- 27} = \frac{- 81}{- 27}$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Passaggio 6.3.3.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 81}{- 27}$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$y = \frac{- 81}{- 27}$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$y = \frac{- 81}{- 27}$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Passaggio 6.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.3.1

Dividi $- 81$ per $- 27$ .

$y = 3$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$y = 3$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$y = 3$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$y = 3$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$y = 3$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Passaggio 6.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ con $3$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ in $x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$ con $3$ .

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 (3)}{12}$

$y = 3$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Semplifica $\frac{3}{4} + \frac{5 (3)}{12}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Moltiplica $5$ per $3$ .

$x = \frac{3}{4} + \frac{15}{12}$

$y = 3$

Passaggio 6.4.2.1.2

Elimina il fattore comune di $15$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.2.1

Scomponi $3$ da $15$ .

$x = \frac{3}{4} + \frac{3 (5)}{12}$

$y = 3$

Passaggio 6.4.2.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.2.2.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$x = \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 4}$

$y = 3$

Passaggio 6.4.2.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 4}$

$y = 3$

Passaggio 6.4.2.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{3}{4} + \frac{5}{4}$

$y = 3$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5}{4}$

$y = 3$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5}{4}$

$y = 3$

Passaggio 6.4.2.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{3 + 5}{4}$

$y = 3$

Passaggio 6.4.2.1.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.4.1

Somma $3$ e $5$ .

$x = \frac{8}{4}$

$y = 3$

Passaggio 6.4.2.1.4.2

Dividi $8$ per $4$ .

$x = 2$

$y = 3$

$x = 2$

$y = 3$

$x = 2$

$y = 3$

$x = 2$

$y = 3$

$x = 2$

$y = 3$

Passaggio 6.5

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(2, 3)$

Passaggio 7

Poiché le pendenze sono differenti, le rette avranno esattamente un punto di intersezione.

$m_{1} = \frac{12}{5}$

$m_{2} = \frac{3}{8}$

$(2, 3)$

Passaggio 8