Matematica discreta Esempi

y = - \frac{1}{3} x + 3

$y = - \frac{1}{3} x + 3$ ,

- 3 x + y = - 7

$- 3 x + y = - 7$

Passaggio 1

Riscrivi in forma esplicita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

L'equazione in forma esplicita di una retta è

y = m x + b

$y = m x + b$ , dove

m

$m$ è il coefficiente angolare e

b

$b$ è l'intercetta di y.

y = m x + b

$y = m x + b$

Passaggio 1.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

x

$x$ e

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ .

y = - \frac{x}{3} + 3

$y = - \frac{x}{3} + 3$

y = - \frac{x}{3} + 3

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Passaggio 1.3

Scrivi in forma

y = m x + b

$y = m x + b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Riordina i termini.

y = - (\frac{1}{3} x) + 3

$y = - (\frac{1}{3} x) + 3$

Passaggio 1.3.2

Rimuovi le parentesi.

y = - \frac{1}{3} x + 3

$y = - \frac{1}{3} x + 3$

y = - \frac{1}{3} x + 3

$y = - \frac{1}{3} x + 3$

y = - \frac{1}{3} x + 3

$y = - \frac{1}{3} x + 3$

Passaggio 2

Utilizzando l'equazione in forma esplicita di una retta, il coefficiente angolare è

- \frac{1}{3}

$- \frac{1}{3}$ .

m_{1} = - \frac{1}{3}

$m_{1} = - \frac{1}{3}$

Passaggio 3

Riscrivi in forma esplicita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

L'equazione in forma esplicita di una retta è

y = m x + b

$y = m x + b$ , dove

m

$m$ è il coefficiente angolare e

b

$b$ è l'intercetta di y.

y = m x + b

$y = m x + b$

Passaggio 3.2

Somma

3 x

$3 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

y = - 7 + 3 x

$y = - 7 + 3 x$

Passaggio 3.3

Riordina

- 7

$- 7$ e

3 x

$3 x$ .

y = 3 x - 7

$y = 3 x - 7$

y = 3 x - 7

$y = 3 x - 7$

Passaggio 4

Utilizzando l'equazione in forma esplicita di una retta, il coefficiente angolare è

3

$3$ .

m_{2} = 3

$m_{2} = 3$

Passaggio 5

Imposta il sistema di equazioni per trovare qualsiasi punto di intersezione.

y = - \frac{1}{3} x + 3, - 3 x + y = - 7

$y = - \frac{1}{3} x + 3, - 3 x + y = - 7$

Passaggio 6

Risolvi il sistema di equazioni per trovare il punto di intersezione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

x

$x$ e

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ .

y = - \frac{x}{3} + 3

$y = - \frac{x}{3} + 3$

- 3 x + y = - 7

$- 3 x + y = - 7$

Passaggio 6.2

Sostituisci tutte le occorrenze di

y

$y$ con

- \frac{x}{3} + 3

$- \frac{x}{3} + 3$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di

y

$y$ in

- 3 x + y = - 7

$- 3 x + y = - 7$ con

- \frac{x}{3} + 3

$- \frac{x}{3} + 3$ .

- 3 x - \frac{x}{3} + 3 = - 7

$- 3 x - \frac{x}{3} + 3 = - 7$

y = - \frac{x}{3} + 3

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica

- 3 x - \frac{x}{3} + 3

$- 3 x - \frac{x}{3} + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Rimuovi le parentesi.

- 3 x - \frac{x}{3} + 3 = - 7

$- 3 x - \frac{x}{3} + 3 = - 7$

y = - \frac{x}{3} + 3

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Passaggio 6.2.2.1.2

Per scrivere

- 3 x

$- 3 x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

- 3 x \cdot \frac{3}{3} - \frac{x}{3} + 3 = - 7

$- 3 x \cdot \frac{3}{3} - \frac{x}{3} + 3 = - 7$

y = - \frac{x}{3} + 3

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Passaggio 6.2.2.1.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.3.1

- 3 x

$- 3 x$ e

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

\frac{- 3 x \cdot 3}{3} - \frac{x}{3} + 3 = - 7

$\frac{- 3 x \cdot 3}{3} - \frac{x}{3} + 3 = - 7$

y = - \frac{x}{3} + 3

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Passaggio 6.2.2.1.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

\frac{- 3 x \cdot 3 - x}{3} + 3 = - 7

$\frac{- 3 x \cdot 3 - x}{3} + 3 = - 7$

y = - \frac{x}{3} + 3

$y = - \frac{x}{3} + 3$

\frac{- 3 x \cdot 3 - x}{3} + 3 = - 7

$\frac{- 3 x \cdot 3 - x}{3} + 3 = - 7$

y = - \frac{x}{3} + 3

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Passaggio 6.2.2.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.4.1.1

Scomponi

x

$x$ da

- 3 x \cdot 3 - x

$- 3 x \cdot 3 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.4.1.1.1

Scomponi

x

$x$ da

- 3 x \cdot 3

$- 3 x \cdot 3$ .

\frac{x (- 3 \cdot 3) - x}{3} + 3 = - 7

$\frac{x (- 3 \cdot 3) - x}{3} + 3 = - 7$

y = - \frac{x}{3} + 3

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Passaggio 6.2.2.1.4.1.1.2

Scomponi

x

$x$ da

- x

$- x$ .

\frac{x (- 3 \cdot 3) + x \cdot - 1}{3} + 3 = - 7

$\frac{x (- 3 \cdot 3) + x \cdot - 1}{3} + 3 = - 7$

y = - \frac{x}{3} + 3

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Passaggio 6.2.2.1.4.1.1.3

Scomponi

x

$x$ da

x (- 3 \cdot 3) + x \cdot - 1

$x (- 3 \cdot 3) + x \cdot - 1$ .

\frac{x (- 3 \cdot 3 - 1)}{3} + 3 = - 7

$\frac{x (- 3 \cdot 3 - 1)}{3} + 3 = - 7$

y = - \frac{x}{3} + 3

$y = - \frac{x}{3} + 3$

\frac{x (- 3 \cdot 3 - 1)}{3} + 3 = - 7

$\frac{x (- 3 \cdot 3 - 1)}{3} + 3 = - 7$

y = - \frac{x}{3} + 3

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Passaggio 6.2.2.1.4.1.2

Moltiplica

- 3

$- 3$ per

3

$3$ .

\frac{x (- 9 - 1)}{3} + 3 = - 7

$\frac{x (- 9 - 1)}{3} + 3 = - 7$

y = - \frac{x}{3} + 3

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Passaggio 6.2.2.1.4.1.3

Sottrai

1

$1$ da

- 9

$- 9$ .

\frac{x \cdot - 10}{3} + 3 = - 7

$\frac{x \cdot - 10}{3} + 3 = - 7$

y = - \frac{x}{3} + 3

$y = - \frac{x}{3} + 3$

\frac{x \cdot - 10}{3} + 3 = - 7

$\frac{x \cdot - 10}{3} + 3 = - 7$

y = - \frac{x}{3} + 3

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Passaggio 6.2.2.1.4.2

Sposta

- 10

$- 10$ alla sinistra di

x

$x$ .

\frac{- 10 \cdot x}{3} + 3 = - 7

$\frac{- 10 \cdot x}{3} + 3 = - 7$

y = - \frac{x}{3} + 3

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Passaggio 6.2.2.1.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

- \frac{10 x}{3} + 3 = - 7

$- \frac{10 x}{3} + 3 = - 7$

y = - \frac{x}{3} + 3

$y = - \frac{x}{3} + 3$

- \frac{10 x}{3} + 3 = - 7

$- \frac{10 x}{3} + 3 = - 7$

y = - \frac{x}{3} + 3

$y = - \frac{x}{3} + 3$

- \frac{10 x}{3} + 3 = - 7

$- \frac{10 x}{3} + 3 = - 7$

y = - \frac{x}{3} + 3

$y = - \frac{x}{3} + 3$

- \frac{10 x}{3} + 3 = - 7

$- \frac{10 x}{3} + 3 = - 7$

y = - \frac{x}{3} + 3

$y = - \frac{x}{3} + 3$

- \frac{10 x}{3} + 3 = - 7

$- \frac{10 x}{3} + 3 = - 7$

y = - \frac{x}{3} + 3

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Passaggio 6.3

Risolvi per

x

$x$ in

- \frac{10 x}{3} + 3 = - 7

$- \frac{10 x}{3} + 3 = - 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sposta tutti i termini non contenenti

x

$x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Sottrai

3

$3$ da entrambi i lati dell'equazione.

- \frac{10 x}{3} = - 7 - 3

$- \frac{10 x}{3} = - 7 - 3$

y = - \frac{x}{3} + 3

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Passaggio 6.3.1.2

Sottrai

3

$3$ da

- 7

$- 7$ .

- \frac{10 x}{3} = - 10

$- \frac{10 x}{3} = - 10$

y = - \frac{x}{3} + 3

$y = - \frac{x}{3} + 3$

- \frac{10 x}{3} = - 10

$- \frac{10 x}{3} = - 10$

y = - \frac{x}{3} + 3

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Passaggio 6.3.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per

- \frac{3}{10}

$- \frac{3}{10}$ .

- \frac{3}{10} \cdot (- \frac{10 x}{3}) = - \frac{3}{10} \cdot - 10

$- \frac{3}{10} \cdot (- \frac{10 x}{3}) = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

y = - \frac{x}{3} + 3

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Passaggio 6.3.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1

Semplifica

- \frac{3}{10} (- \frac{10 x}{3})

$- \frac{3}{10} (- \frac{10 x}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1.1

Elimina il fattore comune di

3

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di

- \frac{3}{10}

$- \frac{3}{10}$ nel numeratore.

\frac{- 3}{10} \cdot (- \frac{10 x}{3}) = - \frac{3}{10} \cdot - 10

$\frac{- 3}{10} \cdot (- \frac{10 x}{3}) = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

y = - \frac{x}{3} + 3

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Passaggio 6.3.3.1.1.1.2

Sposta il negativo all'inizio di

- \frac{10 x}{3}

$- \frac{10 x}{3}$ nel numeratore.

\frac{- 3}{10} \cdot \frac{- 10 x}{3} = - \frac{3}{10} \cdot - 10

$\frac{- 3}{10} \cdot \frac{- 10 x}{3} = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

y = - \frac{x}{3} + 3

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Passaggio 6.3.3.1.1.1.3

Scomponi

3

$3$ da

- 3

$- 3$ .

\frac{3 (- 1)}{10} \cdot \frac{- 10 x}{3} = - \frac{3}{10} \cdot - 10

$\frac{3 (- 1)}{10} \cdot \frac{- 10 x}{3} = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

y = - \frac{x}{3} + 3

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Passaggio 6.3.3.1.1.1.4

Elimina il fattore comune.

\frac{3 \cdot - 1}{10} \cdot \frac{- 10 x}{3} = - \frac{3}{10} \cdot - 10

$\frac{3 \cdot - 1}{10} \cdot \frac{- 10 x}{3} = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

y = - \frac{x}{3} + 3

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Passaggio 6.3.3.1.1.1.5

Riscrivi l'espressione.

\frac{- 1}{10} \cdot (- 10 x) = - \frac{3}{10} \cdot - 10

$\frac{- 1}{10} \cdot (- 10 x) = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

y = - \frac{x}{3} + 3

$y = - \frac{x}{3} + 3$

\frac{- 1}{10} \cdot (- 10 x) = - \frac{3}{10} \cdot - 10

$\frac{- 1}{10} \cdot (- 10 x) = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

y = - \frac{x}{3} + 3

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Passaggio 6.3.3.1.1.2

Elimina il fattore comune di

10

$10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1.2.1

Scomponi

10

$10$ da

- 10 x

$- 10 x$ .

\frac{- 1}{10} \cdot (10 (- x)) = - \frac{3}{10} \cdot - 10

$\frac{- 1}{10} \cdot (10 (- x)) = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

y = - \frac{x}{3} + 3

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Passaggio 6.3.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

\frac{- 1}{10} \cdot (10 (- x)) = - \frac{3}{10} \cdot - 10

$\frac{- 1}{10} \cdot (10 (- x)) = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

y = - \frac{x}{3} + 3

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Passaggio 6.3.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

x = - \frac{3}{10} \cdot - 10

$x = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

y = - \frac{x}{3} + 3

$y = - \frac{x}{3} + 3$

x = - \frac{3}{10} \cdot - 10

$x = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

y = - \frac{x}{3} + 3

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Passaggio 6.3.3.1.1.3

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1.3.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 1

$- 1$ .

1 x = - \frac{3}{10} \cdot - 10

$1 x = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

y = - \frac{x}{3} + 3

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Passaggio 6.3.3.1.1.3.2

Moltiplica

$x$ per

$1$ .

$x = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$x = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$x = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$x = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Passaggio 6.3.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1

Semplifica

$- \frac{3}{10} \cdot - 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune di

$10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di

$- \frac{3}{10}$ nel numeratore.

$x = \frac{- 3}{10} \cdot - 10$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Passaggio 6.3.3.2.1.1.2

Scomponi

$10$ da

$- 10$ .

$x = \frac{- 3}{10} \cdot (10 (- 1))$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Passaggio 6.3.3.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{- 3}{10} \cdot (10 \cdot - 1)$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Passaggio 6.3.3.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$x = - 3 \cdot - 1$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$x = - 3 \cdot - 1$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Passaggio 6.3.3.2.1.2

Moltiplica

$- 3$ per

$- 1$ .

$x = 3$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$x = 3$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$x = 3$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$x = 3$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$x = 3$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Passaggio 6.4

Sostituisci tutte le occorrenze di

$x$ con

$3$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di

$x$ in

$y = - \frac{x}{3} + 3$ con

$3$ .

$y = - \frac{3}{3} + 3$

$x = 3$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Semplifica

$- \frac{3}{3} + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1.1

Elimina il fattore comune di

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y = - \frac{3}{3} + 3$

$x = 3$

Passaggio 6.4.2.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = - 1 \cdot 1 + 3$

$x = 3$

$y = - 1 \cdot 1 + 3$

$x = 3$

Passaggio 6.4.2.1.1.2

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$y = - 1 + 3$

$x = 3$

$y = - 1 + 3$

$x = 3$

Passaggio 6.4.2.1.2

Somma

$- 1$ e

$3$ .

$y = 2$

$x = 3$

$y = 2$

$x = 3$

$y = 2$

$x = 3$

$y = 2$

$x = 3$

Passaggio 6.5

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(3, 2)$

Passaggio 7

Poiché le pendenze sono differenti, le rette avranno esattamente un punto di intersezione.

$m_{1} = - \frac{1}{3}$

$m_{2} = 3$

$(3, 2)$

Passaggio 8