Matematica discreta Esempi

$x - 3 y = 9$ , $3 x - y = 7$

Passaggio 1

Riscrivi in forma esplicita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

L'equazione in forma esplicita di una retta è $y = m x + b$ , dove $m$ è il coefficiente angolare e $b$ è l'intercetta di y.

$y = m x + b$

Passaggio 1.2

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 y = 9 - x$

Passaggio 1.3

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 y = 9 - x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 y = 9 - x$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{9}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Passaggio 1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{9}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Passaggio 1.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{9}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1

Dividi $9$ per $- 3$ .

$y = - 3 + \frac{- x}{- 3}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$y = - 3 + \frac{x}{3}$

Passaggio 1.4

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Riordina $- 3$ e $\frac{x}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - 3$

Passaggio 1.4.2

Riordina i termini.

$y = \frac{1}{3} x - 3$

Passaggio 2

Utilizzando l'equazione in forma esplicita di una retta, il coefficiente angolare è $\frac{1}{3}$ .

$m_{1} = \frac{1}{3}$

Passaggio 3

Riscrivi in forma esplicita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

L'equazione in forma esplicita di una retta è $y = m x + b$ , dove $m$ è il coefficiente angolare e $b$ è l'intercetta di y.

$y = m x + b$

Passaggio 3.2

Sottrai $3 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y = 7 - 3 x$

Passaggio 3.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = 7 - 3 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = 7 - 3 x$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{7}{- 1} + \frac{- 3 x}{- 1}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{7}{- 1} + \frac{- 3 x}{- 1}$

Passaggio 3.3.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{7}{- 1} + \frac{- 3 x}{- 1}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Dividi $7$ per $- 1$ .

$y = - 7 + \frac{- 3 x}{- 1}$

Passaggio 3.3.3.1.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{- 3 x}{- 1}$ .

$y = - 7 - 1 \cdot (- 3 x)$

Passaggio 3.3.3.1.3

Riscrivi $- 1 \cdot (- 3 x)$ come $- (- 3 x)$ .

$y = - 7 - (- 3 x)$

Passaggio 3.3.3.1.4

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$y = - 7 + 3 x$

Passaggio 3.4

Riordina $- 7$ e $3 x$ .

$y = 3 x - 7$

Passaggio 4

Utilizzando l'equazione in forma esplicita di una retta, il coefficiente angolare è $3$ .

$m_{2} = 3$

Passaggio 5

Imposta il sistema di equazioni per trovare qualsiasi punto di intersezione.

$x - 3 y = 9, 3 x - y = 7$

Passaggio 6

Risolvi il sistema di equazioni per trovare il punto di intersezione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Somma $3 y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 9 + 3 y$

$3 x - y = 7$

Passaggio 6.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $9 + 3 y$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ in $3 x - y = 7$ con $9 + 3 y$ .

$3 (9 + 3 y) - y = 7$

$x = 9 + 3 y$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica $3 (9 + 3 y) - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 \cdot 9 + 3 (3 y) - y = 7$

$x = 9 + 3 y$

Passaggio 6.2.2.1.1.2

Moltiplica $3$ per $9$ .

$27 + 3 (3 y) - y = 7$

$x = 9 + 3 y$

Passaggio 6.2.2.1.1.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$27 + 9 y - y = 7$

$x = 9 + 3 y$

$27 + 9 y - y = 7$

$x = 9 + 3 y$

Passaggio 6.2.2.1.2

Sottrai $y$ da $9 y$ .

$27 + 8 y = 7$

$x = 9 + 3 y$

$27 + 8 y = 7$

$x = 9 + 3 y$

$27 + 8 y = 7$

$x = 9 + 3 y$

$27 + 8 y = 7$

$x = 9 + 3 y$

Passaggio 6.3

Risolvi per $y$ in $27 + 8 y = 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Sottrai $27$ da entrambi i lati dell'equazione.

$8 y = 7 - 27$

$x = 9 + 3 y$

Passaggio 6.3.1.2

Sottrai $27$ da $7$ .

$8 y = - 20$

$x = 9 + 3 y$

$8 y = - 20$

$x = 9 + 3 y$

Passaggio 6.3.2

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 y = - 20$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 y = - 20$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{- 20}{8}$

$x = 9 + 3 y$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 y}{8} = \frac{- 20}{8}$

$x = 9 + 3 y$

Passaggio 6.3.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 20}{8}$

$x = 9 + 3 y$

$y = \frac{- 20}{8}$

$x = 9 + 3 y$

$y = \frac{- 20}{8}$

$x = 9 + 3 y$

Passaggio 6.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.1

Elimina il fattore comune di $- 20$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.1.1

Scomponi $4$ da $- 20$ .

$y = \frac{4 (- 5)}{8}$

$x = 9 + 3 y$

Passaggio 6.3.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.1.2.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$y = \frac{4 \cdot - 5}{4 \cdot 2}$

$x = 9 + 3 y$

Passaggio 6.3.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{4 \cdot - 5}{4 \cdot 2}$

$x = 9 + 3 y$

Passaggio 6.3.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{- 5}{2}$

$x = 9 + 3 y$

$y = \frac{- 5}{2}$

$x = 9 + 3 y$

$y = \frac{- 5}{2}$

$x = 9 + 3 y$

Passaggio 6.3.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{5}{2}$

$x = 9 + 3 y$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = 9 + 3 y$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = 9 + 3 y$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = 9 + 3 y$

Passaggio 6.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ con $- \frac{5}{2}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ in $x = 9 + 3 y$ con $- \frac{5}{2}$ .

$x = 9 + 3 (- \frac{5}{2})$

$y = - \frac{5}{2}$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Semplifica $9 + 3 (- \frac{5}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1.1

Moltiplica $3 (- \frac{5}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$x = 9 - 3 (\frac{5}{2})$

$y = - \frac{5}{2}$

Passaggio 6.4.2.1.1.1.2

$- 3$ e $\frac{5}{2}$ .

$x = 9 + \frac{- 3 \cdot 5}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

Passaggio 6.4.2.1.1.1.3

Moltiplica $- 3$ per $5$ .

$x = 9 + \frac{- 15}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = 9 + \frac{- 15}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

Passaggio 6.4.2.1.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = 9 - \frac{15}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = 9 - \frac{15}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

Passaggio 6.4.2.1.2

Per scrivere $9$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 9 \cdot \frac{2}{2} - \frac{15}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

Passaggio 6.4.2.1.3

$9$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{9 \cdot 2}{2} - \frac{15}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

Passaggio 6.4.2.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{9 \cdot 2 - 15}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

Passaggio 6.4.2.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.5.1

Moltiplica $9$ per $2$ .

$x = \frac{18 - 15}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

Passaggio 6.4.2.1.5.2

Sottrai $15$ da $18$ .

$x = \frac{3}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = \frac{3}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = \frac{3}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = \frac{3}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = \frac{3}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

Passaggio 6.5

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(\frac{3}{2}, - \frac{5}{2})$

Passaggio 7

Poiché le pendenze sono differenti, le rette avranno esattamente un punto di intersezione.

$m_{1} = \frac{1}{3}$

$m_{2} = 3$

$(\frac{3}{2}, - \frac{5}{2})$

Passaggio 8