Matematica discreta Esempi

$- 7 x + 3 y = 4$ , $4 x - 5 y = 24$

Passaggio 1

Riscrivi in forma esplicita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

L'equazione in forma esplicita di una retta è $y = m x + b$ , dove $m$ è il coefficiente angolare e $b$ è l'intercetta di y.

$y = m x + b$

Passaggio 1.2

Somma $7 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 y = 4 + 7 x$

Passaggio 1.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y = 4 + 7 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y = 4 + 7 x$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{4}{3} + \frac{7 x}{3}$

Passaggio 1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y}{3} = \frac{4}{3} + \frac{7 x}{3}$

Passaggio 1.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{4}{3} + \frac{7 x}{3}$

Passaggio 1.4

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Riordina $\frac{4}{3}$ e $\frac{7 x}{3}$ .

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{4}{3}$

Passaggio 1.4.2

Riordina i termini.

$y = \frac{7}{3} x + \frac{4}{3}$

Passaggio 2

Utilizzando l'equazione in forma esplicita di una retta, il coefficiente angolare è $\frac{7}{3}$ .

$m_{1} = \frac{7}{3}$

Passaggio 3

Riscrivi in forma esplicita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

L'equazione in forma esplicita di una retta è $y = m x + b$ , dove $m$ è il coefficiente angolare e $b$ è l'intercetta di y.

$y = m x + b$

Passaggio 3.2

Sottrai $4 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 5 y = 24 - 4 x$

Passaggio 3.3

Dividi per $- 5$ ciascun termine in $- 5 y = 24 - 4 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $- 5$ ciascun termine in $- 5 y = 24 - 4 x$ .

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{24}{- 5} + \frac{- 4 x}{- 5}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{24}{- 5} + \frac{- 4 x}{- 5}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{24}{- 5} + \frac{- 4 x}{- 5}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{24}{5} + \frac{- 4 x}{- 5}$

Passaggio 3.3.3.1.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$y = - \frac{24}{5} + \frac{4 x}{5}$

Passaggio 3.4

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riordina $- \frac{24}{5}$ e $\frac{4 x}{5}$ .

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{24}{5}$

Passaggio 3.4.2

Riordina i termini.

$y = \frac{4}{5} x - \frac{24}{5}$

Passaggio 4

Utilizzando l'equazione in forma esplicita di una retta, il coefficiente angolare è $\frac{4}{5}$ .

$m_{2} = \frac{4}{5}$

Passaggio 5

Imposta il sistema di equazioni per trovare qualsiasi punto di intersezione.

$- 7 x + 3 y = 4, 4 x - 5 y = 24$

Passaggio 6

Risolvi il sistema di equazioni per trovare il punto di intersezione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Risolvi per $x$ in $- 7 x + 3 y = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Sottrai $3 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 7 x = 4 - 3 y$

$4 x - 5 y = 24$

Passaggio 6.1.2

Dividi per $- 7$ ciascun termine in $- 7 x = 4 - 3 y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Dividi per $- 7$ ciascun termine in $- 7 x = 4 - 3 y$ .

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{4}{- 7} + \frac{- 3 y}{- 7}$

$4 x - 5 y = 24$

Passaggio 6.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{4}{- 7} + \frac{- 3 y}{- 7}$

$4 x - 5 y = 24$

Passaggio 6.1.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{4}{- 7} + \frac{- 3 y}{- 7}$

$4 x - 5 y = 24$

$x = \frac{4}{- 7} + \frac{- 3 y}{- 7}$

$4 x - 5 y = 24$

$x = \frac{4}{- 7} + \frac{- 3 y}{- 7}$

$4 x - 5 y = 24$

Passaggio 6.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{4}{7} + \frac{- 3 y}{- 7}$

$4 x - 5 y = 24$

Passaggio 6.1.2.3.1.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$4 x - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$4 x - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$4 x - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$4 x - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$4 x - 5 y = 24$

Passaggio 6.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $- \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ in $4 x - 5 y = 24$ con $- \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$ .

$4 (- \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}) - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica $4 (- \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}) - 5 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 (- \frac{4}{7}) + 4 (\frac{3 y}{7}) - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Passaggio 6.2.2.1.1.2

Moltiplica $4 (- \frac{4}{7})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- 4 (\frac{4}{7}) + 4 (\frac{3 y}{7}) - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Passaggio 6.2.2.1.1.2.2

$- 4$ e $\frac{4}{7}$ .

$\frac{- 4 \cdot 4}{7} + 4 (\frac{3 y}{7}) - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Passaggio 6.2.2.1.1.2.3

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$\frac{- 16}{7} + 4 (\frac{3 y}{7}) - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$\frac{- 16}{7} + 4 (\frac{3 y}{7}) - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Passaggio 6.2.2.1.1.3

Moltiplica $4 \frac{3 y}{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.3.1

$4$ e $\frac{3 y}{7}$ .

$\frac{- 16}{7} + \frac{4 (3 y)}{7} - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Passaggio 6.2.2.1.1.3.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{- 16}{7} + \frac{12 y}{7} - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$\frac{- 16}{7} + \frac{12 y}{7} - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Passaggio 6.2.2.1.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{16}{7} + \frac{12 y}{7} - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$- \frac{16}{7} + \frac{12 y}{7} - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Passaggio 6.2.2.1.2

Per scrivere $- 5 y$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{16}{7} + \frac{12 y}{7} - 5 y \cdot \frac{7}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Passaggio 6.2.2.1.3

$- 5 y$ e $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{16}{7} + \frac{12 y}{7} + \frac{- 5 y \cdot 7}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Passaggio 6.2.2.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{16}{7} + \frac{12 y - 5 y \cdot 7}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Passaggio 6.2.2.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 16 + 12 y - 5 y \cdot 7}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Passaggio 6.2.2.1.6

Moltiplica $7$ per $- 5$ .

$\frac{- 16 + 12 y - 35 y}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Passaggio 6.2.2.1.7

Sottrai $35 y$ da $12 y$ .

$\frac{- 16 - 23 y}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Passaggio 6.2.2.1.8

Riscrivi $- 16$ come $- 1 (16)$ .

$\frac{- 1 \cdot 16 - 23 y}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Passaggio 6.2.2.1.9

Scomponi $- 1$ da $- 23 y$ .

$\frac{- 1 \cdot 16 - (23 y)}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Passaggio 6.2.2.1.10

Scomponi $- 1$ da $- 1 (16) - (23 y)$ .

$\frac{- 1 (16 + 23 y)}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Passaggio 6.2.2.1.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{16 + 23 y}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$- \frac{16 + 23 y}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$- \frac{16 + 23 y}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$- \frac{16 + 23 y}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Passaggio 6.3

Risolvi per $y$ in $- \frac{16 + 23 y}{7} = 24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $- 7$ .

$- 7 (- \frac{16 + 23 y}{7}) = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Semplifica $- 7 (- \frac{16 + 23 y}{7})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1.1

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{16 + 23 y}{7}$ nel numeratore.

$- 7 \frac{- (16 + 23 y)}{7} = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Passaggio 6.3.2.1.1.1.2

Scomponi $7$ da $- 7$ .

$7 (- 1) (\frac{- (16 + 23 y)}{7}) = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Passaggio 6.3.2.1.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$7 \cdot (- 1 \frac{- (16 + 23 y)}{7}) = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Passaggio 6.3.2.1.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$16 + 23 y = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$16 + 23 y = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Passaggio 6.3.2.1.1.2

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (16 + 23 y) = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Passaggio 6.3.2.1.1.2.2

Moltiplica $16 + 23 y$ per $1$ .

$16 + 23 y = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$16 + 23 y = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$16 + 23 y = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$16 + 23 y = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Moltiplica $- 7$ per $24$ .

$16 + 23 y = - 168$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$16 + 23 y = - 168$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$16 + 23 y = - 168$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Passaggio 6.3.3

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Sottrai $16$ da entrambi i lati dell'equazione.

$23 y = - 168 - 16$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Passaggio 6.3.3.2

Sottrai $16$ da $- 168$ .

$23 y = - 184$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$23 y = - 184$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Passaggio 6.3.4

Dividi per $23$ ciascun termine in $23 y = - 184$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.1

Dividi per $23$ ciascun termine in $23 y = - 184$ .

$\frac{23 y}{23} = \frac{- 184}{23}$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Passaggio 6.3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $23$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{23 y}{23} = \frac{- 184}{23}$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Passaggio 6.3.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 184}{23}$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$y = \frac{- 184}{23}$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$y = \frac{- 184}{23}$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Passaggio 6.3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.3.1

Dividi $- 184$ per $23$ .

$y = - 8$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$y = - 8$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$y = - 8$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$y = - 8$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Passaggio 6.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ con $- 8$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ in $x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$ con $- 8$ .

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 (- 8)}{7}$

$y = - 8$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Semplifica $- \frac{4}{7} + \frac{3 (- 8)}{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{- 4 + 3 (- 8)}{7}$

$y = - 8$

Passaggio 6.4.2.1.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.2.1

Moltiplica $3$ per $- 8$ .

$x = \frac{- 4 - 24}{7}$

$y = - 8$

Passaggio 6.4.2.1.2.2

Sottrai $24$ da $- 4$ .

$x = \frac{- 28}{7}$

$y = - 8$

Passaggio 6.4.2.1.2.3

Dividi $- 28$ per $7$ .

$x = - 4$

$y = - 8$

$x = - 4$

$y = - 8$

$x = - 4$

$y = - 8$

$x = - 4$

$y = - 8$

$x = - 4$

$y = - 8$

Passaggio 6.5

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(- 4, - 8)$

Passaggio 7

Poiché le pendenze sono differenti, le rette avranno esattamente un punto di intersezione.

$m_{1} = \frac{7}{3}$

$m_{2} = \frac{4}{5}$

$(- 4, - 8)$

Passaggio 8