Matematica discreta Esempi

$4 x + 5 y = 8$ , $5 x - 4 y = 2$

Passaggio 1

Riscrivi in forma esplicita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

L'equazione in forma esplicita di una retta è $y = m x + b$ , dove $m$ è il coefficiente angolare e $b$ è l'intercetta di y.

$y = m x + b$

Passaggio 1.2

Sottrai $4 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$5 y = 8 - 4 x$

Passaggio 1.3

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 y = 8 - 4 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 y = 8 - 4 x$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{8}{5} + \frac{- 4 x}{5}$

Passaggio 1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 y}{5} = \frac{8}{5} + \frac{- 4 x}{5}$

Passaggio 1.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{8}{5} + \frac{- 4 x}{5}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{8}{5} - \frac{4 x}{5}$

Passaggio 1.4

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Riordina $\frac{8}{5}$ e $- \frac{4 x}{5}$ .

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5}$

Passaggio 1.4.2

Riordina i termini.

$y = - (\frac{4}{5} x) + \frac{8}{5}$

Passaggio 1.4.3

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{4}{5} x + \frac{8}{5}$

Passaggio 2

Utilizzando l'equazione in forma esplicita di una retta, il coefficiente angolare è $- \frac{4}{5}$ .

$m_{1} = - \frac{4}{5}$

Passaggio 3

Riscrivi in forma esplicita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

L'equazione in forma esplicita di una retta è $y = m x + b$ , dove $m$ è il coefficiente angolare e $b$ è l'intercetta di y.

$y = m x + b$

Passaggio 3.2

Sottrai $5 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 y = 2 - 5 x$

Passaggio 3.3

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 y = 2 - 5 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 y = 2 - 5 x$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{2}{- 4} + \frac{- 5 x}{- 4}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{2}{- 4} + \frac{- 5 x}{- 4}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{2}{- 4} + \frac{- 5 x}{- 4}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ e $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$y = \frac{2 (1)}{- 4} + \frac{- 5 x}{- 4}$

Passaggio 3.3.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 2} + \frac{- 5 x}{- 4}$

Passaggio 3.3.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 2} + \frac{- 5 x}{- 4}$

Passaggio 3.3.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{1}{- 2} + \frac{- 5 x}{- 4}$

Passaggio 3.3.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{1}{2} + \frac{- 5 x}{- 4}$

Passaggio 3.3.3.1.3

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$y = - \frac{1}{2} + \frac{5 x}{4}$

Passaggio 3.4

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riordina $- \frac{1}{2}$ e $\frac{5 x}{4}$ .

$y = \frac{5 x}{4} - \frac{1}{2}$

Passaggio 3.4.2

Riordina i termini.

$y = \frac{5}{4} x - \frac{1}{2}$

Passaggio 4

Utilizzando l'equazione in forma esplicita di una retta, il coefficiente angolare è $\frac{5}{4}$ .

$m_{2} = \frac{5}{4}$

Passaggio 5

Imposta il sistema di equazioni per trovare qualsiasi punto di intersezione.

$4 x + 5 y = 8, 5 x - 4 y = 2$

Passaggio 6

Risolvi il sistema di equazioni per trovare il punto di intersezione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Risolvi per $x$ in $4 x + 5 y = 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Sottrai $5 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = 8 - 5 y$

$5 x - 4 y = 2$

Passaggio 6.1.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 8 - 5 y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 8 - 5 y$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{8}{4} + \frac{- 5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

Passaggio 6.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{8}{4} + \frac{- 5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

Passaggio 6.1.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{8}{4} + \frac{- 5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

$x = \frac{8}{4} + \frac{- 5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

$x = \frac{8}{4} + \frac{- 5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

Passaggio 6.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.3.1.1

Dividi $8$ per $4$ .

$x = 2 + \frac{- 5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

Passaggio 6.1.2.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

Passaggio 6.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $2 - \frac{5 y}{4}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ in $5 x - 4 y = 2$ con $2 - \frac{5 y}{4}$ .

$5 (2 - \frac{5 y}{4}) - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica $5 (2 - \frac{5 y}{4}) - 4 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 \cdot 2 + 5 (- \frac{5 y}{4}) - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Passaggio 6.2.2.1.1.2

Moltiplica $5$ per $2$ .

$10 + 5 (- \frac{5 y}{4}) - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Passaggio 6.2.2.1.1.3

Moltiplica $5 (- \frac{5 y}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$10 - 5 \frac{5 y}{4} - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Passaggio 6.2.2.1.1.3.2

$- 5$ e $\frac{5 y}{4}$ .

$10 + \frac{- 5 (5 y)}{4} - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Passaggio 6.2.2.1.1.3.3

Moltiplica $5$ per $- 5$ .

$10 + \frac{- 25 y}{4} - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$10 + \frac{- 25 y}{4} - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Passaggio 6.2.2.1.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$10 - \frac{25 y}{4} - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$10 - \frac{25 y}{4} - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Passaggio 6.2.2.1.2

Per scrivere $- 4 y$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$10 - \frac{25 y}{4} - 4 y \cdot \frac{4}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Passaggio 6.2.2.1.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.3.1

$- 4 y$ e $\frac{4}{4}$ .

$10 - \frac{25 y}{4} + \frac{- 4 y \cdot 4}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Passaggio 6.2.2.1.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$10 + \frac{- 25 y - 4 y \cdot 4}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$10 + \frac{- 25 y - 4 y \cdot 4}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Passaggio 6.2.2.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.4.1.1

Scomponi $y$ da $- 25 y - 4 y \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.4.1.1.1

Scomponi $y$ da $- 25 y$ .

$10 + \frac{y \cdot - 25 - 4 y \cdot 4}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Passaggio 6.2.2.1.4.1.1.2

Scomponi $y$ da $- 4 y \cdot 4$ .

$10 + \frac{y \cdot - 25 + y (- 4 \cdot 4)}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Passaggio 6.2.2.1.4.1.1.3

Scomponi $y$ da $y \cdot - 25 + y (- 4 \cdot 4)$ .

$10 + \frac{y (- 25 - 4 \cdot 4)}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$10 + \frac{y (- 25 - 4 \cdot 4)}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Passaggio 6.2.2.1.4.1.2

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$10 + \frac{y (- 25 - 16)}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Passaggio 6.2.2.1.4.1.3

Sottrai $16$ da $- 25$ .

$10 + \frac{y \cdot - 41}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$10 + \frac{y \cdot - 41}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Passaggio 6.2.2.1.4.2

Sposta $- 41$ alla sinistra di $y$ .

$10 + \frac{- 41 \cdot y}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Passaggio 6.2.2.1.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$10 - \frac{41 y}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$10 - \frac{41 y}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$10 - \frac{41 y}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$10 - \frac{41 y}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$10 - \frac{41 y}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Passaggio 6.3

Risolvi per $y$ in $10 - \frac{41 y}{4} = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Sottrai $10$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{41 y}{4} = 2 - 10$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Passaggio 6.3.1.2

Sottrai $10$ da $2$ .

$- \frac{41 y}{4} = - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$- \frac{41 y}{4} = - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Passaggio 6.3.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $- \frac{4}{41}$ .

$- \frac{4}{41} \cdot (- \frac{41 y}{4}) = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Passaggio 6.3.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1

Semplifica $- \frac{4}{41} (- \frac{41 y}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{4}{41}$ nel numeratore.

$\frac{- 4}{41} \cdot (- \frac{41 y}{4}) = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Passaggio 6.3.3.1.1.1.2

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{41 y}{4}$ nel numeratore.

$\frac{- 4}{41} \cdot \frac{- 41 y}{4} = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Passaggio 6.3.3.1.1.1.3

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$\frac{4 (- 1)}{41} \cdot \frac{- 41 y}{4} = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Passaggio 6.3.3.1.1.1.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot - 1}{41} \cdot \frac{- 41 y}{4} = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Passaggio 6.3.3.1.1.1.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{41} \cdot (- 41 y) = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$\frac{- 1}{41} \cdot (- 41 y) = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Passaggio 6.3.3.1.1.2

Elimina il fattore comune di $41$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1.2.1

Scomponi $41$ da $- 41 y$ .

$\frac{- 1}{41} \cdot (41 (- y)) = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Passaggio 6.3.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{41} \cdot (41 (- y)) = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Passaggio 6.3.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$y = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Passaggio 6.3.3.1.1.3

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 y = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Passaggio 6.3.3.1.1.3.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$y = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$y = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$y = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Passaggio 6.3.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1

Moltiplica $- \frac{4}{41} \cdot - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1.1

Moltiplica $- 8$ per $- 1$ .

$y = 8 (\frac{4}{41})$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Passaggio 6.3.3.2.1.2

$8$ e $\frac{4}{41}$ .

$y = \frac{8 \cdot 4}{41}$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Passaggio 6.3.3.2.1.3

Moltiplica $8$ per $4$ .

$y = \frac{32}{41}$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Passaggio 6.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ con $\frac{32}{41}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ in $x = 2 - \frac{5 y}{4}$ con $\frac{32}{41}$ .

$x = 2 - \frac{5 (\frac{32}{41})}{4}$

$y = \frac{32}{41}$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Semplifica $2 - \frac{5 (\frac{32}{41})}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1.1

$5$ e $\frac{32}{41}$ .

$x = 2 - \frac{\frac{5 \cdot 32}{41}}{4}$

$y = \frac{32}{41}$

Passaggio 6.4.2.1.1.2

Moltiplica $5$ per $32$ .

$x = 2 - \frac{\frac{160}{41}}{4}$

$y = \frac{32}{41}$

Passaggio 6.4.2.1.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = 2 - (\frac{160}{41} \cdot \frac{1}{4})$

$y = \frac{32}{41}$

Passaggio 6.4.2.1.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1.4.1

Scomponi $4$ da $160$ .

$x = 2 - (\frac{4 (40)}{41} \cdot \frac{1}{4})$

$y = \frac{32}{41}$

Passaggio 6.4.2.1.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$x = 2 - (\frac{4 \cdot 40}{41} \cdot \frac{1}{4})$

$y = \frac{32}{41}$

Passaggio 6.4.2.1.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 - \frac{40}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = 2 - \frac{40}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = 2 - \frac{40}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

Passaggio 6.4.2.1.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{41}{41}$ .

$x = 2 \cdot \frac{41}{41} - \frac{40}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

Passaggio 6.4.2.1.3

$2$ e $\frac{41}{41}$ .

$x = \frac{2 \cdot 41}{41} - \frac{40}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

Passaggio 6.4.2.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 \cdot 41 - 40}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

Passaggio 6.4.2.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.5.1

Moltiplica $2$ per $41$ .

$x = \frac{82 - 40}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

Passaggio 6.4.2.1.5.2

Sottrai $40$ da $82$ .

$x = \frac{42}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = \frac{42}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = \frac{42}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = \frac{42}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = \frac{42}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

Passaggio 6.5

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(\frac{42}{41}, \frac{32}{41})$

Passaggio 7

Poiché le pendenze sono differenti, le rette avranno esattamente un punto di intersezione.

$m_{1} = - \frac{4}{5}$

$m_{2} = \frac{5}{4}$

$(\frac{42}{41}, \frac{32}{41})$

Passaggio 8