Matematica discreta Esempi

$[\begin{array}{c} 0.3 & 0.2 & 0.3 \\ 0.5 & 0.6 & 0.3 \\ 0.2 & 0.2 & 0.4 \end{array}]$

Passaggio 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Passaggio 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calculate the minor for element $a_{11}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0.6 & 0.3 \\ 0.2 & 0.4 \end{array} |$

Passaggio 2.1.2

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{11} = 0.6 \cdot 0.4 - 0.2 \cdot 0.3$

Passaggio 2.1.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1.1

Moltiplica $0.6$ per $0.4$ .

$a_{11} = 0.24 - 0.2 \cdot 0.3$

Passaggio 2.1.2.2.1.2

Moltiplica $- 0.2$ per $0.3$ .

$a_{11} = 0.24 - 0.06$

Passaggio 2.1.2.2.2

Sottrai $0.06$ da $0.24$ .

$a_{11} = 0.18$

Passaggio 2.2

Calculate the minor for element $a_{12}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0.5 & 0.3 \\ 0.2 & 0.4 \end{array} |$

Passaggio 2.2.2

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{12} = 0.5 \cdot 0.4 - 0.2 \cdot 0.3$

Passaggio 2.2.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1.1

Moltiplica $0.5$ per $0.4$ .

$a_{12} = 0.2 - 0.2 \cdot 0.3$

Passaggio 2.2.2.2.1.2

Moltiplica $- 0.2$ per $0.3$ .

$a_{12} = 0.2 - 0.06$

Passaggio 2.2.2.2.2

Sottrai $0.06$ da $0.2$ .

$a_{12} = 0.14$

Passaggio 2.3

Calculate the minor for element $a_{13}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0.5 & 0.6 \\ 0.2 & 0.2 \end{array} |$

Passaggio 2.3.2

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{13} = 0.5 \cdot 0.2 - 0.2 \cdot 0.6$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1.1

Moltiplica $0.5$ per $0.2$ .

$a_{13} = 0.1 - 0.2 \cdot 0.6$

Passaggio 2.3.2.2.1.2

Moltiplica $- 0.2$ per $0.6$ .

$a_{13} = 0.1 - 0.12$

Passaggio 2.3.2.2.2

Sottrai $0.12$ da $0.1$ .

$a_{13} = - 0.02$

Passaggio 2.4

Calculate the minor for element $a_{21}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0.2 & 0.3 \\ 0.2 & 0.4 \end{array} |$

Passaggio 2.4.2

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = 0.2 \cdot 0.4 - 0.2 \cdot 0.3$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1.1

Moltiplica $0.2$ per $0.4$ .

$a_{21} = 0.08 - 0.2 \cdot 0.3$

Passaggio 2.4.2.2.1.2

Moltiplica $- 0.2$ per $0.3$ .

$a_{21} = 0.08 - 0.06$

Passaggio 2.4.2.2.2

Sottrai $0.06$ da $0.08$ .

$a_{21} = 0.02$

Passaggio 2.5

Calculate the minor for element $a_{22}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0.3 & 0.3 \\ 0.2 & 0.4 \end{array} |$

Passaggio 2.5.2

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = 0.3 \cdot 0.4 - 0.2 \cdot 0.3$

Passaggio 2.5.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1.1

Moltiplica $0.3$ per $0.4$ .

$a_{22} = 0.12 - 0.2 \cdot 0.3$

Passaggio 2.5.2.2.1.2

Moltiplica $- 0.2$ per $0.3$ .

$a_{22} = 0.12 - 0.06$

Passaggio 2.5.2.2.2

Sottrai $0.06$ da $0.12$ .

$a_{22} = 0.06$

Passaggio 2.6

Calculate the minor for element $a_{23}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0.3 & 0.2 \\ 0.2 & 0.2 \end{array} |$

Passaggio 2.6.2

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 0.3 \cdot 0.2 - 0.2 \cdot 0.2$

Passaggio 2.6.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1.1

Moltiplica $0.3$ per $0.2$ .

$a_{23} = 0.06 - 0.2 \cdot 0.2$

Passaggio 2.6.2.2.1.2

Moltiplica $- 0.2$ per $0.2$ .

$a_{23} = 0.06 - 0.04$

Passaggio 2.6.2.2.2

Sottrai $0.04$ da $0.06$ .

$a_{23} = 0.02$

Passaggio 2.7

Calculate the minor for element $a_{31}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0.2 & 0.3 \\ 0.6 & 0.3 \end{array} |$

Passaggio 2.7.2

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = 0.2 \cdot 0.3 - 0.6 \cdot 0.3$

Passaggio 2.7.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.2.1.1

Moltiplica $0.2$ per $0.3$ .

$a_{31} = 0.06 - 0.6 \cdot 0.3$

Passaggio 2.7.2.2.1.2

Moltiplica $- 0.6$ per $0.3$ .

$a_{31} = 0.06 - 0.18$

Passaggio 2.7.2.2.2

Sottrai $0.18$ da $0.06$ .

$a_{31} = - 0.12$

Passaggio 2.8

Calculate the minor for element $a_{32}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0.3 & 0.3 \\ 0.5 & 0.3 \end{array} |$

Passaggio 2.8.2

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 0.3 \cdot 0.3 - 0.5 \cdot 0.3$

Passaggio 2.8.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.2.1.1

Moltiplica $0.3$ per $0.3$ .

$a_{32} = 0.09 - 0.5 \cdot 0.3$

Passaggio 2.8.2.2.1.2

Moltiplica $- 0.5$ per $0.3$ .

$a_{32} = 0.09 - 0.15$

Passaggio 2.8.2.2.2

Sottrai $0.15$ da $0.09$ .

$a_{32} = - 0.06$

Passaggio 2.9

Calculate the minor for element $a_{33}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0.3 & 0.2 \\ 0.5 & 0.6 \end{array} |$

Passaggio 2.9.2

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 0.3 \cdot 0.6 - 0.5 \cdot 0.2$

Passaggio 2.9.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.2.1.1

Moltiplica $0.3$ per $0.6$ .

$a_{33} = 0.18 - 0.5 \cdot 0.2$

Passaggio 2.9.2.2.1.2

Moltiplica $- 0.5$ per $0.2$ .

$a_{33} = 0.18 - 0.1$

Passaggio 2.9.2.2.2

Sottrai $0.1$ da $0.18$ .

$a_{33} = 0.08$

Passaggio 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the $-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} 0.18 & - 0.14 & - 0.02 \\ - 0.02 & 0.06 & - 0.02 \\ - 0.12 & 0.06 & 0.08 \end{array}]$

Passaggio 3

Transpose the matrix by switching its rows to columns.

$[\begin{array}{c} 0.18 & - 0.02 & - 0.12 \\ - 0.14 & 0.06 & 0.06 \\ - 0.02 & - 0.02 & 0.08 \end{array}]$