Matematica discreta Esempi

$2 x - 3 y = 4$ , $3 x - 5 y = 2$

Passaggio 1

Riscrivi in forma esplicita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

L'equazione in forma esplicita di una retta è $y = m x + b$ , dove $m$ è il coefficiente angolare e $b$ è l'intercetta di y.

$y = m x + b$

Passaggio 1.2

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 y = 4 - 2 x$

Passaggio 1.3

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 y = 4 - 2 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 y = 4 - 2 x$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{4}{- 3} + \frac{- 2 x}{- 3}$

Passaggio 1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{4}{- 3} + \frac{- 2 x}{- 3}$

Passaggio 1.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{4}{- 3} + \frac{- 2 x}{- 3}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{4}{3} + \frac{- 2 x}{- 3}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$y = - \frac{4}{3} + \frac{2 x}{3}$

Passaggio 1.4

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Riordina $- \frac{4}{3}$ e $\frac{2 x}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3}$

Passaggio 1.4.2

Riordina i termini.

$y = \frac{2}{3} x - \frac{4}{3}$

Passaggio 2

Utilizzando l'equazione in forma esplicita di una retta, il coefficiente angolare è $\frac{2}{3}$ .

$m_{1} = \frac{2}{3}$

Passaggio 3

Riscrivi in forma esplicita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

L'equazione in forma esplicita di una retta è $y = m x + b$ , dove $m$ è il coefficiente angolare e $b$ è l'intercetta di y.

$y = m x + b$

Passaggio 3.2

Sottrai $3 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 5 y = 2 - 3 x$

Passaggio 3.3

Dividi per $- 5$ ciascun termine in $- 5 y = 2 - 3 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $- 5$ ciascun termine in $- 5 y = 2 - 3 x$ .

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{2}{- 5} + \frac{- 3 x}{- 5}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{2}{- 5} + \frac{- 3 x}{- 5}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{2}{- 5} + \frac{- 3 x}{- 5}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{2}{5} + \frac{- 3 x}{- 5}$

Passaggio 3.3.3.1.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$y = - \frac{2}{5} + \frac{3 x}{5}$

Passaggio 3.4

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riordina $- \frac{2}{5}$ e $\frac{3 x}{5}$ .

$y = \frac{3 x}{5} - \frac{2}{5}$

Passaggio 3.4.2

Riordina i termini.

$y = \frac{3}{5} x - \frac{2}{5}$

Passaggio 4

Utilizzando l'equazione in forma esplicita di una retta, il coefficiente angolare è $\frac{3}{5}$ .

$m_{2} = \frac{3}{5}$

Passaggio 5

Imposta il sistema di equazioni per trovare qualsiasi punto di intersezione.

$2 x - 3 y = 4, 3 x - 5 y = 2$

Passaggio 6

Risolvi il sistema di equazioni per trovare il punto di intersezione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Risolvi per $x$ in $2 x - 3 y = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Somma $3 y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 4 + 3 y$

$3 x - 5 y = 2$

Passaggio 6.1.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 4 + 3 y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 4 + 3 y$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{4}{2} + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

Passaggio 6.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{4}{2} + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

Passaggio 6.1.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{4}{2} + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

$x = \frac{4}{2} + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

$x = \frac{4}{2} + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

Passaggio 6.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.3.1

Dividi $4$ per $2$ .

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

Passaggio 6.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $2 + \frac{3 y}{2}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ in $3 x - 5 y = 2$ con $2 + \frac{3 y}{2}$ .

$3 (2 + \frac{3 y}{2}) - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica $3 (2 + \frac{3 y}{2}) - 5 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 \cdot 2 + 3 (\frac{3 y}{2}) - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Passaggio 6.2.2.1.1.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 + 3 (\frac{3 y}{2}) - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Passaggio 6.2.2.1.1.3

Moltiplica $3 \frac{3 y}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.3.1

$3$ e $\frac{3 y}{2}$ .

$6 + \frac{3 (3 y)}{2} - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Passaggio 6.2.2.1.1.3.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$6 + \frac{9 y}{2} - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 + \frac{9 y}{2} - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 + \frac{9 y}{2} - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Passaggio 6.2.2.1.2

Per scrivere $- 5 y$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$6 + \frac{9 y}{2} - 5 y \cdot \frac{2}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Passaggio 6.2.2.1.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.3.1

$- 5 y$ e $\frac{2}{2}$ .

$6 + \frac{9 y}{2} + \frac{- 5 y \cdot 2}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Passaggio 6.2.2.1.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$6 + \frac{9 y - 5 y \cdot 2}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 + \frac{9 y - 5 y \cdot 2}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Passaggio 6.2.2.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.4.1.1

Scomponi $y$ da $9 y - 5 y \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.4.1.1.1

Scomponi $y$ da $9 y$ .

$6 + \frac{y \cdot 9 - 5 y \cdot 2}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Passaggio 6.2.2.1.4.1.1.2

Scomponi $y$ da $- 5 y \cdot 2$ .

$6 + \frac{y \cdot 9 + y (- 5 \cdot 2)}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Passaggio 6.2.2.1.4.1.1.3

Scomponi $y$ da $y \cdot 9 + y (- 5 \cdot 2)$ .

$6 + \frac{y (9 - 5 \cdot 2)}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 + \frac{y (9 - 5 \cdot 2)}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Passaggio 6.2.2.1.4.1.2

Moltiplica $- 5$ per $2$ .

$6 + \frac{y (9 - 10)}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Passaggio 6.2.2.1.4.1.3

Sottrai $10$ da $9$ .

$6 + \frac{y \cdot - 1}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 + \frac{y \cdot - 1}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Passaggio 6.2.2.1.4.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $y$ .

$6 + \frac{- 1 \cdot y}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Passaggio 6.2.2.1.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$6 - \frac{y}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 - \frac{y}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 - \frac{y}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 - \frac{y}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 - \frac{y}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Passaggio 6.3

Risolvi per $y$ in $6 - \frac{y}{2} = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{y}{2} = 2 - 6$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Passaggio 6.3.1.2

Sottrai $6$ da $2$ .

$- \frac{y}{2} = - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$- \frac{y}{2} = - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Passaggio 6.3.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $- 2$ .

$- 2 (- \frac{y}{2}) = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Passaggio 6.3.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1

Semplifica $- 2 (- \frac{y}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{y}{2}$ nel numeratore.

$- 2 \frac{- y}{2} = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Passaggio 6.3.3.1.1.1.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$2 (- 1) (\frac{- y}{2}) = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Passaggio 6.3.3.1.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot (- 1 \frac{- y}{2}) = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Passaggio 6.3.3.1.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$y = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$y = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Passaggio 6.3.3.1.1.2

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 y = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Passaggio 6.3.3.1.1.2.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$y = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$y = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$y = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Passaggio 6.3.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1

Moltiplica $- 2$ per $- 4$ .

$y = 8$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$y = 8$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$y = 8$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$y = 8$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Passaggio 6.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ con $8$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ in $x = 2 + \frac{3 y}{2}$ con $8$ .

$x = 2 + \frac{3 (8)}{2}$

$y = 8$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Semplifica $2 + \frac{3 (8)}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Moltiplica $3$ per $8$ .

$x = 2 + \frac{24}{2}$

$y = 8$

Passaggio 6.4.2.1.2

Dividi $24$ per $2$ .

$x = 2 + 12$

$y = 8$

Passaggio 6.4.2.1.3

Somma $2$ e $12$ .

$x = 14$

$y = 8$

$x = 14$

$y = 8$

$x = 14$

$y = 8$

$x = 14$

$y = 8$

Passaggio 6.5

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(14, 8)$

Passaggio 7

Poiché le pendenze sono differenti, le rette avranno esattamente un punto di intersezione.

$m_{1} = \frac{2}{3}$

$m_{2} = \frac{3}{5}$

$(14, 8)$

Passaggio 8