Matematica discreta Esempi

$2 x + 5 y = 10$ , $x - 3 y = 3$

Passaggio 1

Riscrivi in forma esplicita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

L'equazione in forma esplicita di una retta è $y = m x + b$ , dove $m$ è il coefficiente angolare e $b$ è l'intercetta di y.

$y = m x + b$

Passaggio 1.2

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$5 y = 10 - 2 x$

Passaggio 1.3

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 y = 10 - 2 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 y = 10 - 2 x$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{10}{5} + \frac{- 2 x}{5}$

Passaggio 1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 y}{5} = \frac{10}{5} + \frac{- 2 x}{5}$

Passaggio 1.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{10}{5} + \frac{- 2 x}{5}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1

Dividi $10$ per $5$ .

$y = 2 + \frac{- 2 x}{5}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = 2 - \frac{2 x}{5}$

Passaggio 1.4

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Riordina $2$ e $- \frac{2 x}{5}$ .

$y = - \frac{2 x}{5} + 2$

Passaggio 1.4.2

Riordina i termini.

$y = - (\frac{2}{5} x) + 2$

Passaggio 1.4.3

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{2}{5} x + 2$

Passaggio 2

Utilizzando l'equazione in forma esplicita di una retta, il coefficiente angolare è $- \frac{2}{5}$ .

$m_{1} = - \frac{2}{5}$

Passaggio 3

Riscrivi in forma esplicita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

L'equazione in forma esplicita di una retta è $y = m x + b$ , dove $m$ è il coefficiente angolare e $b$ è l'intercetta di y.

$y = m x + b$

Passaggio 3.2

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 y = 3 - x$

Passaggio 3.3

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 y = 3 - x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 y = 3 - x$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{3}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{3}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{3}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Dividi $3$ per $- 3$ .

$y = - 1 + \frac{- x}{- 3}$

Passaggio 3.3.3.1.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$y = - 1 + \frac{x}{3}$

Passaggio 3.4

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riordina $- 1$ e $\frac{x}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - 1$

Passaggio 3.4.2

Riordina i termini.

$y = \frac{1}{3} x - 1$

Passaggio 4

Utilizzando l'equazione in forma esplicita di una retta, il coefficiente angolare è $\frac{1}{3}$ .

$m_{2} = \frac{1}{3}$

Passaggio 5

Imposta il sistema di equazioni per trovare qualsiasi punto di intersezione.

$2 x + 5 y = 10, x - 3 y = 3$

Passaggio 6

Risolvi il sistema di equazioni per trovare il punto di intersezione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Somma $3 y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3 + 3 y$

$2 x + 5 y = 10$

Passaggio 6.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $3 + 3 y$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ in $2 x + 5 y = 10$ con $3 + 3 y$ .

$2 (3 + 3 y) + 5 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica $2 (3 + 3 y) + 5 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cdot 3 + 2 (3 y) + 5 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

Passaggio 6.2.2.1.1.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 + 2 (3 y) + 5 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

Passaggio 6.2.2.1.1.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 + 6 y + 5 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

$6 + 6 y + 5 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

Passaggio 6.2.2.1.2

Somma $6 y$ e $5 y$ .

$6 + 11 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

$6 + 11 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

$6 + 11 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

$6 + 11 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

Passaggio 6.3

Risolvi per $y$ in $6 + 11 y = 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$11 y = 10 - 6$

$x = 3 + 3 y$

Passaggio 6.3.1.2

Sottrai $6$ da $10$ .

$11 y = 4$

$x = 3 + 3 y$

$11 y = 4$

$x = 3 + 3 y$

Passaggio 6.3.2

Dividi per $11$ ciascun termine in $11 y = 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Dividi per $11$ ciascun termine in $11 y = 4$ .

$\frac{11 y}{11} = \frac{4}{11}$

$x = 3 + 3 y$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{11 y}{11} = \frac{4}{11}$

$x = 3 + 3 y$

Passaggio 6.3.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{4}{11}$

$x = 3 + 3 y$

$y = \frac{4}{11}$

$x = 3 + 3 y$

$y = \frac{4}{11}$

$x = 3 + 3 y$

$y = \frac{4}{11}$

$x = 3 + 3 y$

$y = \frac{4}{11}$

$x = 3 + 3 y$

Passaggio 6.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ con $\frac{4}{11}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ in $x = 3 + 3 y$ con $\frac{4}{11}$ .

$x = 3 + 3 (\frac{4}{11})$

$y = \frac{4}{11}$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Semplifica $3 + 3 (\frac{4}{11})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Moltiplica $3 (\frac{4}{11})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1.1

$3$ e $\frac{4}{11}$ .

$x = 3 + \frac{3 \cdot 4}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

Passaggio 6.4.2.1.1.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$x = 3 + \frac{12}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

$x = 3 + \frac{12}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

Passaggio 6.4.2.1.2

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{11}{11}$ .

$x = 3 \cdot \frac{11}{11} + \frac{12}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

Passaggio 6.4.2.1.3

$3$ e $\frac{11}{11}$ .

$x = \frac{3 \cdot 11}{11} + \frac{12}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

Passaggio 6.4.2.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{3 \cdot 11 + 12}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

Passaggio 6.4.2.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.5.1

Moltiplica $3$ per $11$ .

$x = \frac{33 + 12}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

Passaggio 6.4.2.1.5.2

Somma $33$ e $12$ .

$x = \frac{45}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

$x = \frac{45}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

$x = \frac{45}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

$x = \frac{45}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

$x = \frac{45}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

Passaggio 6.5

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(\frac{45}{11}, \frac{4}{11})$

Passaggio 7

Poiché le pendenze sono differenti, le rette avranno esattamente un punto di intersezione.

$m_{1} = - \frac{2}{5}$

$m_{2} = \frac{1}{3}$

$(\frac{45}{11}, \frac{4}{11})$

Passaggio 8