Matematica discreta Esempi

$3 x + 4 y = 2$ , $4 x + 3 y = 4$

Passaggio 1

Riscrivi in forma esplicita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

L'equazione in forma esplicita di una retta è $y = m x + b$ , dove $m$ è il coefficiente angolare e $b$ è l'intercetta di y.

$y = m x + b$

Passaggio 1.2

Sottrai $3 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 y = 2 - 3 x$

Passaggio 1.3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y = 2 - 3 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y = 2 - 3 x$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{2}{4} + \frac{- 3 x}{4}$

Passaggio 1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 y}{4} = \frac{2}{4} + \frac{- 3 x}{4}$

Passaggio 1.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{2}{4} + \frac{- 3 x}{4}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$y = \frac{2 (1)}{4} + \frac{- 3 x}{4}$

Passaggio 1.3.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{- 3 x}{4}$

Passaggio 1.3.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{- 3 x}{4}$

Passaggio 1.3.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{1}{2} + \frac{- 3 x}{4}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{1}{2} - \frac{3 x}{4}$

Passaggio 1.4

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Riordina $\frac{1}{2}$ e $- \frac{3 x}{4}$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{1}{2}$

Passaggio 1.4.2

Riordina i termini.

$y = - (\frac{3}{4} x) + \frac{1}{2}$

Passaggio 1.4.3

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{3}{4} x + \frac{1}{2}$

Passaggio 2

Utilizzando l'equazione in forma esplicita di una retta, il coefficiente angolare è $- \frac{3}{4}$ .

$m_{1} = - \frac{3}{4}$

Passaggio 3

Riscrivi in forma esplicita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

L'equazione in forma esplicita di una retta è $y = m x + b$ , dove $m$ è il coefficiente angolare e $b$ è l'intercetta di y.

$y = m x + b$

Passaggio 3.2

Sottrai $4 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 y = 4 - 4 x$

Passaggio 3.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y = 4 - 4 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y = 4 - 4 x$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{4}{3} + \frac{- 4 x}{3}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y}{3} = \frac{4}{3} + \frac{- 4 x}{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{4}{3} + \frac{- 4 x}{3}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{4}{3} - \frac{4 x}{3}$

Passaggio 3.4

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riordina $\frac{4}{3}$ e $- \frac{4 x}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3}$

Passaggio 3.4.2

Riordina i termini.

$y = - (\frac{4}{3} x) + \frac{4}{3}$

Passaggio 3.4.3

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{4}{3} x + \frac{4}{3}$

Passaggio 4

Utilizzando l'equazione in forma esplicita di una retta, il coefficiente angolare è $- \frac{4}{3}$ .

$m_{2} = - \frac{4}{3}$

Passaggio 5

Imposta il sistema di equazioni per trovare qualsiasi punto di intersezione.

$3 x + 4 y = 2, 4 x + 3 y = 4$

Passaggio 6

Risolvi il sistema di equazioni per trovare il punto di intersezione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Risolvi per $x$ in $3 x + 4 y = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Sottrai $4 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 2 - 4 y$

$4 x + 3 y = 4$

Passaggio 6.1.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 2 - 4 y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 2 - 4 y$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$4 x + 3 y = 4$

Passaggio 6.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$4 x + 3 y = 4$

Passaggio 6.1.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{2}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$4 x + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$4 x + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$4 x + 3 y = 4$

Passaggio 6.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$4 x + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$4 x + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$4 x + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$4 x + 3 y = 4$

Passaggio 6.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $\frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ in $4 x + 3 y = 4$ con $\frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$ .

$4 (\frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}) + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica $4 (\frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}) + 3 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 (\frac{2}{3}) + 4 (- \frac{4 y}{3}) + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Passaggio 6.2.2.1.1.2

Moltiplica $4 (\frac{2}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.2.1

$4$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{4 \cdot 2}{3} + 4 (- \frac{4 y}{3}) + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Passaggio 6.2.2.1.1.2.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{8}{3} + 4 (- \frac{4 y}{3}) + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{8}{3} + 4 (- \frac{4 y}{3}) + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Passaggio 6.2.2.1.1.3

Moltiplica $4 (- \frac{4 y}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{8}{3} - 4 \frac{4 y}{3} + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Passaggio 6.2.2.1.1.3.2

$- 4$ e $\frac{4 y}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 4 (4 y)}{3} + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Passaggio 6.2.2.1.1.3.3

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 16 y}{3} + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{8}{3} + \frac{- 16 y}{3} + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Passaggio 6.2.2.1.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{8}{3} - \frac{16 y}{3} + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{8}{3} - \frac{16 y}{3} + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Passaggio 6.2.2.1.2

Per scrivere $3 y$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} - \frac{16 y}{3} + 3 y \cdot \frac{3}{3} = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Passaggio 6.2.2.1.3

$3 y$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} - \frac{16 y}{3} + \frac{3 y \cdot 3}{3} = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Passaggio 6.2.2.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{8}{3} + \frac{- 16 y + 3 y \cdot 3}{3} = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Passaggio 6.2.2.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{8 - 16 y + 3 y \cdot 3}{3} = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Passaggio 6.2.2.1.6

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{8 - 16 y + 9 y}{3} = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Passaggio 6.2.2.1.7

Somma $- 16 y$ e $9 y$ .

$\frac{8 - 7 y}{3} = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{8 - 7 y}{3} = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{8 - 7 y}{3} = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{8 - 7 y}{3} = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Passaggio 6.3

Risolvi per $y$ in $\frac{8 - 7 y}{3} = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica ogni lato per $3$ .

$\frac{8 - 7 y}{3} \cdot 3 = 4 \cdot 3$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Semplifica $\frac{8 - 7 y}{3} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 - 7 y}{3} \cdot 3 = 4 \cdot 3$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Passaggio 6.3.2.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$8 - 7 y = 4 \cdot 3$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$8 - 7 y = 4 \cdot 3$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Passaggio 6.3.2.1.1.2

Riordina $8$ e $- 7 y$ .

$- 7 y + 8 = 4 \cdot 3$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- 7 y + 8 = 4 \cdot 3$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- 7 y + 8 = 4 \cdot 3$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Moltiplica $4$ per $3$ .

$- 7 y + 8 = 12$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- 7 y + 8 = 12$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- 7 y + 8 = 12$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Passaggio 6.3.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 7 y = 12 - 8$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Passaggio 6.3.3.1.2

Sottrai $8$ da $12$ .

$- 7 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- 7 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Passaggio 6.3.3.2

Dividi per $- 7$ ciascun termine in $- 7 y = 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1

Dividi per $- 7$ ciascun termine in $- 7 y = 4$ .

$\frac{- 7 y}{- 7} = \frac{4}{- 7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Passaggio 6.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 7 y}{- 7} = \frac{4}{- 7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Passaggio 6.3.3.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{4}{- 7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = \frac{4}{- 7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = \frac{4}{- 7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Passaggio 6.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Passaggio 6.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ con $- \frac{4}{7}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ in $x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$ con $- \frac{4}{7}$ .

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 (- \frac{4}{7})}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Semplifica $\frac{2}{3} - \frac{4 (- \frac{4}{7})}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 - 4 (- \frac{4}{7})}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Passaggio 6.4.2.1.2

Moltiplica $- 4 (- \frac{4}{7})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$x = \frac{2 + 4 (\frac{4}{7})}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Passaggio 6.4.2.1.2.2

$4$ e $\frac{4}{7}$ .

$x = \frac{2 + \frac{4 \cdot 4}{7}}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Passaggio 6.4.2.1.2.3

Moltiplica $4$ per $4$ .

$x = \frac{2 + \frac{16}{7}}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{2 + \frac{16}{7}}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Passaggio 6.4.2.1.3

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{7}{7}$ .

$x = \frac{2 \cdot \frac{7}{7} + \frac{16}{7}}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Passaggio 6.4.2.1.4

$2$ e $\frac{7}{7}$ .

$x = \frac{\frac{2 \cdot 7}{7} + \frac{16}{7}}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Passaggio 6.4.2.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{\frac{2 \cdot 7 + 16}{7}}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Passaggio 6.4.2.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.6.1

Moltiplica $2$ per $7$ .

$x = \frac{\frac{14 + 16}{7}}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Passaggio 6.4.2.1.6.2

Somma $14$ e $16$ .

$x = \frac{\frac{30}{7}}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{\frac{30}{7}}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Passaggio 6.4.2.1.7

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{30}{7} \cdot \frac{1}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Passaggio 6.4.2.1.8

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.8.1

Scomponi $3$ da $30$ .

$x = \frac{3 (10)}{7} \cdot \frac{1}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Passaggio 6.4.2.1.8.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{3 \cdot 10}{7} \cdot \frac{1}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Passaggio 6.4.2.1.8.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{10}{7}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{10}{7}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{10}{7}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{10}{7}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{10}{7}$

$y = - \frac{4}{7}$

Passaggio 6.5

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(\frac{10}{7}, - \frac{4}{7})$

Passaggio 7

Poiché le pendenze sono differenti, le rette avranno esattamente un punto di intersezione.

$m_{1} = - \frac{3}{4}$

$m_{2} = - \frac{4}{3}$

$(\frac{10}{7}, - \frac{4}{7})$

Passaggio 8