Matematica discreta Esempi

$\int \sin^{2} (1 - x) d x$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = 1 - x$ . Allora $d u_{1} = - d x$ , quindi $- d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = 1 - x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 - 1$

Passaggio 1.1.4

Sottrai $1$ da $0$ .

$- 1$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int - \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 3

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\sin^{2} (u_{1})$ come $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$- \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$- \frac{1}{2} (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 6

Applica la regola costante.

$- \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{2} (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 8

Sia $u_{2} = 2 u_{1}$ . Allora $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 8.1

Sia $u_{2} = 2 u_{1}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Differenzia $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Passaggio 8.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $2 u_{1}$ rispetto a $u_{1}$ è $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Passaggio 8.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 8.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Passaggio 9

$\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Passaggio 10

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{2} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Passaggio 11

L'integrale di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sin (u_{2})$ .

$- \frac{1}{2} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Passaggio 12

Semplifica.

$- \frac{1}{2} (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Passaggio 13

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 13.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $1 - x$ .

$- \frac{1}{2} (1 - x - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Passaggio 13.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 u_{1}$ .

$- \frac{1}{2} (1 - x - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Passaggio 13.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $1 - x$ .

$- \frac{1}{2} (1 - x - \frac{1}{2} \sin (2 (1 - x))) + C$

Passaggio 14

Semplifica.

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Passaggio 14.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 14.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{1}{2} (1 - x - \frac{1}{2} \sin (2 \cdot 1 + 2 (- x))) + C$

Passaggio 14.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- \frac{1}{2} (1 - x - \frac{1}{2} \sin (2 + 2 (- x))) + C$

Passaggio 14.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \frac{1}{2} (1 - x - \frac{1}{2} \sin (2 - 2 x)) + C$

Passaggio 14.1.4

$\sin (2 - 2 x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} (1 - x - \frac{\sin (2 - 2 x)}{2}) + C$

Passaggio 14.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} (- x) - \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 - 2 x)}{2}) + C$

Passaggio 14.3

Semplifica.

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Passaggio 14.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (- x) - \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 - 2 x)}{2}) + C$

Passaggio 14.3.2

Moltiplica $- \frac{1}{2} (- x)$ .

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Passaggio 14.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2}) x - \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 - 2 x)}{2}) + C$

Passaggio 14.3.2.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 - 2 x)}{2}) + C$

Passaggio 14.3.2.3

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{x}{2} - \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 - 2 x)}{2}) + C$

Passaggio 14.3.3

Moltiplica $- \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 - 2 x)}{2})$ .

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Passaggio 14.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{\sin (2 - 2 x)}{2} + C$

Passaggio 14.3.3.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 - 2 x)}{2} + C$

Passaggio 14.3.3.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sin (2 - 2 x)}{2}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 - 2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Passaggio 14.3.3.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 - 2 x)}{4} + C$

Passaggio 15

Riordina i termini.

$- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 - 2 x) + C$