Matematica discreta Esempi

$x - 8 y = - 21$ , $- 4 x + 2 y = - 18$

Passaggio 1

Rappresenta il sistema di equazioni con una matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 4 & 2 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 21 \\ - 18 \end{array}]$

Passaggio 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 4 & 2 \end{array}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Write $[\begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 4 & 2 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 4 & 2 \end{array} |$

Passaggio 2.2

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 2 - (- 4 \cdot - 8)$

Passaggio 2.3

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 - (- 4 \cdot - 8)$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $- (- 4 \cdot - 8)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 8$ .

$2 - 1 \cdot 32$

Passaggio 2.3.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $32$ .

$2 - 32$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $32$ da $2$ .

$- 30$

$D = - 30$

Passaggio 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Passaggio 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 21 \\ - 18 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 21 & - 8 \\ - 18 & 2 \end{array} |$

Passaggio 4.2

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 21 \cdot 2 - (- 18 \cdot - 8)$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Moltiplica $- 21$ per $2$ .

$- 42 - (- 18 \cdot - 8)$

Passaggio 4.2.2.1.2

Moltiplica $- (- 18 \cdot - 8)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.2.1

Moltiplica $- 18$ per $- 8$ .

$- 42 - 1 \cdot 144$

Passaggio 4.2.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $144$ .

$- 42 - 144$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai $144$ da $- 42$ .

$- 186$

$D_{x} = - 186$

Passaggio 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Passaggio 4.4

Substitute $- 30$ for $D$ and $- 186$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{- 186}{- 30}$

Passaggio 4.5

Elimina il fattore comune di $- 186$ e $- 30$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Scomponi $- 6$ da $- 186$ .

$x = \frac{- 6 (31)}{- 30}$

Passaggio 4.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Scomponi $- 6$ da $- 30$ .

$x = \frac{- 6 \cdot 31}{- 6 \cdot 5}$

Passaggio 4.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{- 6 \cdot 31}{- 6 \cdot 5}$

Passaggio 4.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{31}{5}$

Passaggio 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 21 \\ - 18 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & - 21 \\ - 4 & - 18 \end{array} |$

Passaggio 5.2

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 18 - (- 4 \cdot - 21)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Moltiplica $- 18$ per $1$ .

$- 18 - (- 4 \cdot - 21)$

Passaggio 5.2.2.1.2

Moltiplica $- (- 4 \cdot - 21)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 21$ .

$- 18 - 1 \cdot 84$

Passaggio 5.2.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $84$ .

$- 18 - 84$

Passaggio 5.2.2.2

Sottrai $84$ da $- 18$ .

$- 102$

$D_{y} = - 102$

Passaggio 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Passaggio 5.4

Substitute $- 30$ for $D$ and $- 102$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- 102}{- 30}$

Passaggio 5.5

Elimina il fattore comune di $- 102$ e $- 30$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Scomponi $- 6$ da $- 102$ .

$y = \frac{- 6 (17)}{- 30}$

Passaggio 5.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Scomponi $- 6$ da $- 30$ .

$y = \frac{- 6 \cdot 17}{- 6 \cdot 5}$

Passaggio 5.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{- 6 \cdot 17}{- 6 \cdot 5}$

Passaggio 5.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{17}{5}$

Passaggio 6

Elenca la soluzione al sistema di equazioni.

$x = \frac{31}{5}$

$y = \frac{17}{5}$