Matematica discreta Esempi

$x + y - z = 11$ , $3 x - y + z = - 3$ , $x - 4 y + 2 z = - 54$

Passaggio 1

Rappresenta il sistema di equazioni con una matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 3 & - 1 & 1 \\ 1 & - 4 & 2 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 11 \\ - 3 \\ - 54 \end{array}]$

Passaggio 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 3 & - 1 & 1 \\ 1 & - 4 & 2 \end{array}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Write $[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 3 & - 1 & 1 \\ 1 & - 4 & 2 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 3 & - 1 & 1 \\ 1 & - 4 & 2 \end{array} |$

Passaggio 2.2

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 2.2.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 2.2.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 4 & 2 \end{array} |$

Passaggio 2.2.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 4 & 2 \end{array} |$

Passaggio 2.2.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 2.2.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 2.2.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 2.2.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 2.2.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 4 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 2.3

Calcola $| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 4 & 2 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (- 1 \cdot 2 - (- 4 \cdot 1)) - 1 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$1 (- 2 - (- 4 \cdot 1)) - 1 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 2.3.2.1.2

Moltiplica $- (- 4 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$1 (- 2 - - 4) - 1 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 2.3.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$1 (- 2 + 4) - 1 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $- 2$ e $4$ .

$1 \cdot 2 - 1 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 2.4

Calcola $| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 2 - 1 (3 \cdot 2 - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$1 \cdot 2 - 1 (6 - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 2.4.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$1 \cdot 2 - 1 (6 - 1) - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 2.4.2.2

Sottrai $1$ da $6$ .

$1 \cdot 2 - 1 \cdot 5 - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 2.5

Calcola $| \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 2 - 1 \cdot 5 - 1 (3 \cdot - 4 - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 2.5.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.1

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$1 \cdot 2 - 1 \cdot 5 - 1 (- 12 - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 2.5.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \cdot 2 - 1 \cdot 5 - 1 (- 12 + 1)$

Passaggio 2.5.2.2

Somma $- 12$ e $1$ .

$1 \cdot 2 - 1 \cdot 5 - 1 \cdot - 11$

Passaggio 2.6

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 - 1 \cdot 5 - 1 \cdot - 11$

Passaggio 2.6.1.2

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$2 - 5 - 1 \cdot - 11$

Passaggio 2.6.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 11$ .

$2 - 5 + 11$

Passaggio 2.6.2

Sottrai $5$ da $2$ .

$- 3 + 11$

Passaggio 2.6.3

Somma $- 3$ e $11$ .

$8$

$D = 8$

Passaggio 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Passaggio 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 11 \\ - 3 \\ - 54 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 11 & 1 & - 1 \\ - 3 & - 1 & 1 \\ - 54 & - 4 & 2 \end{array} |$

Passaggio 4.2

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 4.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 4.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 4 & 2 \end{array} |$

Passaggio 4.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$11 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 4 & 2 \end{array} |$

Passaggio 4.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ - 54 & 2 \end{array} |$

Passaggio 4.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ - 54 & 2 \end{array} |$

Passaggio 4.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & - 1 \\ - 54 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 4.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} - 3 & - 1 \\ - 54 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 4.2.1.9

Add the terms together.

$11 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 4 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ - 54 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 3 & - 1 \\ - 54 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 4.2.2

Calcola $| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 4 & 2 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$11 (- 1 \cdot 2 - (- 4 \cdot 1)) - 1 | \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ - 54 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 3 & - 1 \\ - 54 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$11 (- 2 - (- 4 \cdot 1)) - 1 | \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ - 54 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 3 & - 1 \\ - 54 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 4.2.2.2.1.2

Moltiplica $- (- 4 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$11 (- 2 - - 4) - 1 | \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ - 54 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 3 & - 1 \\ - 54 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 4.2.2.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$11 (- 2 + 4) - 1 | \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ - 54 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 3 & - 1 \\ - 54 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 4.2.2.2.2

Somma $- 2$ e $4$ .

$11 \cdot 2 - 1 | \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ - 54 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 3 & - 1 \\ - 54 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 4.2.3

Calcola $| \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ - 54 & 2 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$11 \cdot 2 - 1 (- 3 \cdot 2 - (- 54 \cdot 1)) - 1 | \begin{array}{c} - 3 & - 1 \\ - 54 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 4.2.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1.1

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$11 \cdot 2 - 1 (- 6 - (- 54 \cdot 1)) - 1 | \begin{array}{c} - 3 & - 1 \\ - 54 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 4.2.3.2.1.2

Moltiplica $- (- 54 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1.2.1

Moltiplica $- 54$ per $1$ .

$11 \cdot 2 - 1 (- 6 - - 54) - 1 | \begin{array}{c} - 3 & - 1 \\ - 54 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 4.2.3.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 54$ .

$11 \cdot 2 - 1 (- 6 + 54) - 1 | \begin{array}{c} - 3 & - 1 \\ - 54 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 4.2.3.2.2

Somma $- 6$ e $54$ .

$11 \cdot 2 - 1 \cdot 48 - 1 | \begin{array}{c} - 3 & - 1 \\ - 54 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 4.2.4

Calcola $| \begin{array}{c} - 3 & - 1 \\ - 54 & - 4 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$11 \cdot 2 - 1 \cdot 48 - 1 (- 3 \cdot - 4 - (- 54 \cdot - 1))$

Passaggio 4.2.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.2.1.1

Moltiplica $- 3$ per $- 4$ .

$11 \cdot 2 - 1 \cdot 48 - 1 (12 - (- 54 \cdot - 1))$

Passaggio 4.2.4.2.1.2

Moltiplica $- (- 54 \cdot - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.2.1.2.1

Moltiplica $- 54$ per $- 1$ .

$11 \cdot 2 - 1 \cdot 48 - 1 (12 - 1 \cdot 54)$

Passaggio 4.2.4.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $54$ .

$11 \cdot 2 - 1 \cdot 48 - 1 (12 - 54)$

Passaggio 4.2.4.2.2

Sottrai $54$ da $12$ .

$11 \cdot 2 - 1 \cdot 48 - 1 \cdot - 42$

Passaggio 4.2.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1.1

Moltiplica $11$ per $2$ .

$22 - 1 \cdot 48 - 1 \cdot - 42$

Passaggio 4.2.5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $48$ .

$22 - 48 - 1 \cdot - 42$

Passaggio 4.2.5.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 42$ .

$22 - 48 + 42$

Passaggio 4.2.5.2

Sottrai $48$ da $22$ .

$- 26 + 42$

Passaggio 4.2.5.3

Somma $- 26$ e $42$ .

$16$

$D_{x} = 16$

Passaggio 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Passaggio 4.4

Substitute $8$ for $D$ and $16$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{16}{8}$

Passaggio 4.5

Dividi $16$ per $8$ .

$x = 2$

Passaggio 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 11 \\ - 3 \\ - 54 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 11 & - 1 \\ 3 & - 3 & 1 \\ 1 & - 54 & 2 \end{array} |$

Passaggio 5.2

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 5.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 5.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ - 54 & 2 \end{array} |$

Passaggio 5.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ - 54 & 2 \end{array} |$

Passaggio 5.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 5.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 11 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 5.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 54 \end{array} |$

Passaggio 5.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 54 \end{array} |$

Passaggio 5.2.1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ - 54 & 2 \end{array} | - 11 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 54 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2

Calcola $| \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ - 54 & 2 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (- 3 \cdot 2 - (- 54 \cdot 1)) - 11 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 54 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1.1

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$1 (- 6 - (- 54 \cdot 1)) - 11 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 54 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2.1.2

Moltiplica $- (- 54 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1.2.1

Moltiplica $- 54$ per $1$ .

$1 (- 6 - - 54) - 11 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 54 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 54$ .

$1 (- 6 + 54) - 11 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 54 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2.2

Somma $- 6$ e $54$ .

$1 \cdot 48 - 11 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 54 \end{array} |$

Passaggio 5.2.3

Calcola $| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 48 - 11 (3 \cdot 2 - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 54 \end{array} |$

Passaggio 5.2.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$1 \cdot 48 - 11 (6 - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 54 \end{array} |$

Passaggio 5.2.3.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$1 \cdot 48 - 11 (6 - 1) - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 54 \end{array} |$

Passaggio 5.2.3.2.2

Sottrai $1$ da $6$ .

$1 \cdot 48 - 11 \cdot 5 - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 54 \end{array} |$

Passaggio 5.2.4

Calcola $| \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 54 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 48 - 11 \cdot 5 - 1 (3 \cdot - 54 - 1 \cdot - 3)$

Passaggio 5.2.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1.1

Moltiplica $3$ per $- 54$ .

$1 \cdot 48 - 11 \cdot 5 - 1 (- 162 - 1 \cdot - 3)$

Passaggio 5.2.4.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$1 \cdot 48 - 11 \cdot 5 - 1 (- 162 + 3)$

Passaggio 5.2.4.2.2

Somma $- 162$ e $3$ .

$1 \cdot 48 - 11 \cdot 5 - 1 \cdot - 159$

Passaggio 5.2.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1.1

Moltiplica $48$ per $1$ .

$48 - 11 \cdot 5 - 1 \cdot - 159$

Passaggio 5.2.5.1.2

Moltiplica $- 11$ per $5$ .

$48 - 55 - 1 \cdot - 159$

Passaggio 5.2.5.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 159$ .

$48 - 55 + 159$

Passaggio 5.2.5.2

Sottrai $55$ da $48$ .

$- 7 + 159$

Passaggio 5.2.5.3

Somma $- 7$ e $159$ .

$152$

$D_{y} = 152$

Passaggio 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Passaggio 5.4

Substitute $8$ for $D$ and $152$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{152}{8}$

Passaggio 5.5

Dividi $152$ per $8$ .

$y = 19$

Passaggio 6

Find the value of $z$ by Cramer's Rule, which states that $z = \frac{D_{z}}{D}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Replace column $3$ of the coefficient matrix that corresponds to the $z$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 11 \\ - 3 \\ - 54 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 11 \\ 3 & - 1 & - 3 \\ 1 & - 4 & - 54 \end{array} |$

Passaggio 6.2

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 6.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 6.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ - 4 & - 54 \end{array} |$

Passaggio 6.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ - 4 & - 54 \end{array} |$

Passaggio 6.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 54 \end{array} |$

Passaggio 6.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 54 \end{array} |$

Passaggio 6.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 6.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$11 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 6.2.1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ - 4 & - 54 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 54 \end{array} | + 11 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 6.2.2

Calcola $| \begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ - 4 & - 54 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (- - 54 - (- 4 \cdot - 3)) - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 54 \end{array} | + 11 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 54$ .

$1 (54 - (- 4 \cdot - 3)) - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 54 \end{array} | + 11 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 6.2.2.2.1.2

Moltiplica $- (- 4 \cdot - 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 3$ .

$1 (54 - 1 \cdot 12) - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 54 \end{array} | + 11 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 6.2.2.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $12$ .

$1 (54 - 12) - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 54 \end{array} | + 11 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 6.2.2.2.2

Sottrai $12$ da $54$ .

$1 \cdot 42 - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 54 \end{array} | + 11 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 6.2.3

Calcola $| \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 54 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 42 - 1 (3 \cdot - 54 - 1 \cdot - 3) + 11 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 6.2.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.2.1.1

Moltiplica $3$ per $- 54$ .

$1 \cdot 42 - 1 (- 162 - 1 \cdot - 3) + 11 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 6.2.3.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$1 \cdot 42 - 1 (- 162 + 3) + 11 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 6.2.3.2.2

Somma $- 162$ e $3$ .

$1 \cdot 42 - 1 \cdot - 159 + 11 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 6.2.4

Calcola $| \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 42 - 1 \cdot - 159 + 11 (3 \cdot - 4 - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 6.2.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.2.1.1

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$1 \cdot 42 - 1 \cdot - 159 + 11 (- 12 - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 6.2.4.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \cdot 42 - 1 \cdot - 159 + 11 (- 12 + 1)$

Passaggio 6.2.4.2.2

Somma $- 12$ e $1$ .

$1 \cdot 42 - 1 \cdot - 159 + 11 \cdot - 11$

Passaggio 6.2.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1.1

Moltiplica $42$ per $1$ .

$42 - 1 \cdot - 159 + 11 \cdot - 11$

Passaggio 6.2.5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 159$ .

$42 + 159 + 11 \cdot - 11$

Passaggio 6.2.5.1.3

Moltiplica $11$ per $- 11$ .

$42 + 159 - 121$

Passaggio 6.2.5.2

Somma $42$ e $159$ .

$201 - 121$

Passaggio 6.2.5.3

Sottrai $121$ da $201$ .

$80$

$D_{z} = 80$

Passaggio 6.3

Use the formula to solve for $z$ .

$z = \frac{D_{z}}{D}$

Passaggio 6.4

Substitute $8$ for $D$ and $80$ for $D_{z}$ in the formula.

$z = \frac{80}{8}$

Passaggio 6.5

Dividi $80$ per $8$ .

$z = 10$

Passaggio 7

Elenca la soluzione al sistema di equazioni.

$x = 2$

$y = 19$

$z = 10$