Matematica discreta Esempi

$M = [\begin{array}{c} - 2 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}]$

Passaggio 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Passaggio 2

Find the determinant.

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Passaggio 2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 2 \cdot - 1 - 2 \cdot 3$

Passaggio 2.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$2 - 2 \cdot 3$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$2 - 6$

Passaggio 2.2.2

Sottrai $6$ da $2$ .

$- 4$

Passaggio 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Passaggio 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 4} [\begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ - 2 & - 2 \end{array}]$

Passaggio 5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{4} [\begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ - 2 & - 2 \end{array}]$

Passaggio 6

Moltiplica $- \frac{1}{4}$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} \cdot - 1 & - \frac{1}{4} \cdot - 3 \\ - \frac{1}{4} \cdot - 2 & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Passaggio 7

Semplifica ogni elemento nella matrice.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

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Passaggio 7.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 (\frac{1}{4}) & - \frac{1}{4} \cdot - 3 \\ - \frac{1}{4} \cdot - 2 & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Passaggio 7.1.2

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \cdot - 3 \\ - \frac{1}{4} \cdot - 2 & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Passaggio 7.2

Moltiplica $- \frac{1}{4} \cdot - 3$ .

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Passaggio 7.2.1

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & 3 (\frac{1}{4}) \\ - \frac{1}{4} \cdot - 2 & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Passaggio 7.2.2

$3$ e $\frac{1}{4}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ - \frac{1}{4} \cdot - 2 & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Passaggio 7.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{4}$ nel numeratore.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{- 1}{4} \cdot - 2 & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Passaggio 7.3.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{- 1}{2 (2)} \cdot - 2 & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Passaggio 7.3.3

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Passaggio 7.3.4

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Passaggio 7.3.5

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{- 1}{2} \cdot - 1 & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Passaggio 7.4

$\frac{- 1}{2}$ e $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{- - 1}{2} & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Passaggio 7.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Passaggio 7.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.6.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{4}$ nel numeratore.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{- 1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Passaggio 7.6.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{- 1}{2 (2)} \cdot - 2 \end{array}]$

Passaggio 7.6.3

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) \end{array}]$

Passaggio 7.6.4

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) \end{array}]$

Passaggio 7.6.5

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot - 1 \end{array}]$

Passaggio 7.7

$\frac{- 1}{2}$ e $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{- - 1}{2} \end{array}]$

Passaggio 7.8

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}]$